Relation binaire

[Dante0]

Bonsoir,

Quelle différence fait-on entre une relation binaire asymétrique et antisymétrique ?

Pour rappel :

Antisymétrique : si
Asymétrique si :

En fait il n'y a que le qu'on ne retrouve pas dans le cas asymétrique, mais est-ce que ca a une importance ? Quelle différence fait-on avec les deux cas ?

Merci

[Preys]

Bonsoir,
Je ne sais pas trop, je ne suis pas prof mais je pense qu'il n'y a aucune différence car antisymétrique=asymétrique ie ce sont des mots qui ont le même sens ici, mais si on veut suivre la logique de ce que tu as écrit c'est comme si pour antisymétrique, l'inégalité est stricte alors que pour asymétrique c'est une inégalité large et donc si ce que tu as écrit est correct, alors pour asymétrique on aurait: => non (y>x) (inégalité stricte)

[Dante0]

Bonsoir,
Je ne sais pas trop, je ne suis pas prof mais je pense qu'il n'y a aucune différence car antisymétrique=asymétrique ie ce sont des mots qui ont le même sens ici, mais si on veut suivre la logique de ce que tu as écrit c'est comme si pour antisymétrique, l'inégalité est stricte alors que pour asymétrique c'est une inégalité large et donc si ce que tu as écrit est correct, alors pour asymétrique on aurait: => non (y>x) (inégalité stricte)

Et schématiquement sur un graphe ca se représente comment ?

[Preys]

Et schématiquement sur un graphe ca se représente comment ?

Les relations je les utilise souvent dans les groupes en algebre du coup je n ai jamais fait de representation graphique. Et donc je ne suis en pas mesure de t aider sur ce point.

[Ben314]

Quelle différence fait-on entre une relation binaire asymétrique et antisymétrique ?
Antisymétrique : si
Asymétrique si :
En fait il n'y a que le qu'on ne retrouve pas dans le cas asymétrique, mais est-ce que ca a une importance ? Quelle différence fait-on avec les deux cas ?

Salut, le mot "antisymétrique" est parfaitement défini dans tout bouquin de math Français qui parle de relation d'ordre (peut-être est-ce légèrement différent en belgique/suisse/quebec). Cette définition est :
La relation sur est antisymétrique lorsque
Sauf que, si P,Q et R sont des propositions quelconques, alors "(P et Q) => R" dit exactement la même chose que (non(R) et P) => non(Q)" donc la définition çi dessus coïncide avec celle que tu a mis dans ton post.

La deuxième définition dont tu parle (celle de "asymétrique") ne se retrouve dans aucun bouquin "purement français", mais ça ne m'étonnerais pas qu'elle soit vue dans d'autres pays francophones vu que c'est celle utilisée par les anglophones :
En françe, la "vrai" relation d'ordre sur R, elle doit être réflexive, transitive et antisymétrique et donc c'est la relation "inférieur ou égal" (ou si tu préfère la relation "supérieur ou égal")
Pour les anglophones, la "vrai" relation d'ordre, elle doit être transitive et asymétrique et donc c'est la relation "strictement inférieur à" (ou si tu préfère la relation "strictement supérieur")

A titre d'exo, vérifie que, sur R, la relation est réflexive et antisymétrique mais qu'elle n'est pas asymétrique puis, vérifie que la relation est asymétrique mais n'est pas réflexive (et elle est quand même antisymétrique, mais c'est pas trés interessant...)

En résumé, il faut que tu t'entende "sur quel pied dancer" : Francophone ou Anglophone...

P.S. au niveau "graphique", si tu regarde ta relation comme un tableau à double entrées (le x et le y) où tu met dans certaines cases une croix (ou autre chose) pour signifier que x est en relation avec y alors :
- R est "réflexive" signifie que tu as des croix partout sur la diagonale, c'est à dire que xRx pour tout x.
- R est "antisymétrique" signifie que, à part sur la diagonale (i.e. x=y), tu ne trouve jamais deux croix (distinctes) qui sont symétrique l'une de l'autre par rapport à la diagonale.
- R est "asymétrique" signifie que tu ne trouve jamais deux croix (distinctes ou confondues) qui sont symétrique l'une de l'autre par rapport à la diagonale. En particulier, sur la diagonale il n'y a aucune croix.

[Dante0]

Je suis bien en France.
Mais questions notations, c'est quoi ?

Au niveau de la représentation, on n'utilise pas de tableau mais des traits.
Un trait plat entre x et y si x = y par exemple, un trait avec une flèche > pour dire que x > y (ou y > x)
et pour dire que x = x on fait une boucle sur x.

[Preys]

Je suis bien en France.
Mais questions notations, c'est quoi ?

Au niveau de la représentation, on n'utilise pas de tableau mais des traits.
Un trait plat entre x et y si x = y par exemple, un trait avec une flèche > pour dire que x > y (ou y > x)
et pour dire que x = x on fait une boucle sur x.

xRx c'est la reflexivité. Dans un exercice, pour montrer la reflexivité, tu auras une equivalence qui te permettra de le faire aisément.. par exemple: Soit R la relation définie sur R par xRy xe^y=ye^x
Montrer que R est une relation d'equivalence.. Là tu vas devoir passer par la reflexivité càd montrer que xRx, et donc pour faire ça il suffit d'utiliser l'equivalence et remplacer y par x et montrer que c'est vrai.