Manier Arcsin(x)

par **frodelma** » 04 Déc 2013, 23:27

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice. On étudie f(x)=Arcsin((4x^3)-3x). Avec les questions préliminaires je dit que f est défini pour x compris entre -1 et 1. J'ai réussi à calculer la dérivée : (12x²-3)/(Racine(1-(4x^3-3x)²)) soit (g'(x)/(Racine(1-g(x)²)) qui est défnini pour x compris entre -1 et 1 avec x différent de -1,1,1/2 et -1/2. Ils demandent par la suite :

de montrer que si |x|<=(1/2) alors f(x)=-3Arcsin(x).

Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance.

par **Ben314** » 05 Déc 2013, 00:26

Salut,
Simplifie l'expression de f' et... ça ira tout seul...
(factorise l'expression sous la racine : un vrai miracle...)

par **frodelma** » 05 Déc 2013, 00:55

J'avais esseyé , je trouve x²(-16x^3+24x²-8)+1, mais après je reste bloqué. Pourriez-vous m'aider ?

par **mrif** » 05 Déc 2013, 01:16

frodelma a écrit:Bonjour, j'ai un problème avec un exercice. On étudie f(x)=Arcsin((4x^3)-3x). Avec les questions préliminaires je dit que f est défini pour x compris entre -1 et 1. J'ai réussi à calculer la dérivée : (12x²-3)/(Racine(1-(4x^3-3x)²)) soit (g'(x)/(Racine(1-g(x)²)) qui est défnini pour x compris entre -1 et 1 avec x différent de -1,1,1/2 et -1/2. Ils demandent par la suite :

de montrer que si |x|<=(1/2) alors f(x)=-3Arcsin(x).

Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance.

Une alternative à la proposition de Ben314:

Pour x vérifiant |x| <=1/2, |Arcsin(x)| <= pi/6 donc 3|Arcsin(x)| <= pi/2.
On clacule sin(3y) en fonction de sin(y): sin(3y) = 3siny - 4sin^3(y).
Si on pose x = siny on a 3y = Arcsin(3x - 4x^3), ce qui donne:
3Arcsin(x) = Arcsin(3x - 4x^3) donc f(x) = -3Arcsin(x)

par **Ben314** » 05 Déc 2013, 01:46

Il y a des tonnes de "racines évidentes" :

Et, aprés simplification, tu tombe sur

, le signe étant celui de

Je t'inciterais vivement à utiliser cette méthode (à priori celle attendue dans l'exercice) ET AUSSI celle mrif qui permet elle de comprendre pourquoi ton f' se simplifie aussi "miraculeusement".
Voire même, si tu as un peu de temps, à regarder ce que vaut la fonction f sur [1/2,1] et/ou sur [-1,-1/2] en utilisant les deux méthodes.

par **frodelma** » 05 Déc 2013, 02:27

Merci pour toutes vos aides, elles m'ont été d'une aide précieuse et j'ai enfin réussi à venir à bout de ce problème, et merci de m'avoir aidé à une heure aussi tardive. A bientôt.

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