Question sur les racine

[penny]

Bonjour, je n'ai pas compris comment on calcule les racine d'un nombre complexe comme z au cube=2+2i ou z au cube=8i.
Pourriez vous m'expliquer s'il vous plait?

[sylvainc2]

Si z=a+bi, on écrit le nombre sous la forme exponentielle:



où

et + un ajustement pour l'angle dans le bon quadrant:

si a>0 et b>0 pas d'ajustement

a>0 et b0 ou a<0 et b<0): + pi

Ensuite on élève à la puissance 1/n:


et pour avoir toutes les racines, on calcule successivement l'exposant de exp() pour les valeurs de k=0,1,2...n-1.

Ensuite, si on veut remettre sous la forme cartésienne chaque racine, on utilise la formule bien connue:


(Évidemment, on prend n=3 pour la racines cubiques, n=2 pour les racines carrées, etc.)

[Tiruxa]

Juste une remarque dans un cas particulier où l'on peut trouver une racine "évidente" z1, les autres racines sont z1*j et z1* où j est la racine cubique de l'unité bien connue, c'est à dire :

Par exemple a pour racine évidente -2i , donc les autres racines sont -2i*j et -2i*.

a pour racine évidente (1+i) , donc les autres racines sont (1+i)*j et (1+i)*.

[penny]

Ok merci ,et si j'ai bien compris,les racine cubique de z1=2+2i sont:
zk= racine cubique de|z|exp( ;)/n+2k;)/n) donc pour k= 0,
zo = (racine cubique de 2;)2)exp(;) /12+2*0;)/3)= (racine cubique de 2;)2)exp(;) /12)
pour k=1,z1= (racine cubique de 2;)2)exp(;) /12+2*1;)/3)=(racine cubique de 2;)2)exp(3;) /4)
Enfin pour k=2,z2=(racine cubique de 2;)2)exp(;) /12+2*2*;)/3)= (racine cubique de 2;)2)exp(17;) /12).

[Tiruxa]

pour k=1,z1= (racine cubique de 2;)2)exp(;) /12+2*1;)/3)=(racine cubique de 2;)2)exp(3;) /4)

En fait z1 = -1 + i
donc les deux autres sont z1*j et z1*

Multiplier par j revient à ajouter (2pi)/3 à l'argument sans modifier le module et multiplier par revient à enlever (2pi)/3 à l'argument sans modifier bien sûr le module.

Ceci est important si l'on souhaite présenter ces racines sous forme algébrique.

D'autre part dans vos réponses comme la racine cubique de est

[Losange]

Dans le cas particulier de la racine carrée, il existe une méthode qui évite de passer par les formes exponentielles.

On cherche une racine carrée de a+ib.

C'est-à-dire : On cherche x et y réels tels que (x+iy)²=a+ib.

On développe l'équation et on identifie les parties réelles et imaginaires.
On obtient :
(1) : x²-y²=a
(2) : 2xy=b

On utilise ensuite l'égalité des modules :
(3) x²+y²=;)(a²+b²)

Le système composé par les équations (1) et (3) est facile à résoudre. On trouve alors x² et y². On résout le problème de signe avec l'équation (2) qui donne le signe de y en fonction de celui de x.