Exercices terminal S.

[SaraMath]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice

soit la fonction
f(x)=-x+;)(x²+1) ;x;)0
f(x)= 4/;) * arctan[-x+;)(x²+1)] ; x;)0


et la suite
Uo=1
(quelque soit n £N) Un+1=f(Un)

1* montrer que Un est convergente et calculer sa limite.

2* montrer que f(1/tanx)=tan(x/2) pour tout x de ]0,;)/2[ (ça je l'ai fait)

3*on pose pour tout x de N : an= [2^(n+1) + (-1)^n] / 3


a/ montrer que : (quelque soit n£N) an+1= 2^(n+1) -an
et que ao=1

b/ montrer que Un= tan [(;).an)/ 2^(n+2)]

[SaraMath]

N'y a-t-il pas quelqu'un qui peut m'aider?

[chombier]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice

soit la fonction
f(x)=-x+;)(x²+1) ;x;)0
f(x)= 4/;) * arctan[-x+;)(x²+1)] ; x;)0


et la suite
Uo=1
(quelque soit n £N) Un+1=f(Un)

1* montrer que Un est convergente et calculer sa limite.

2* montrer que f(1/tanx)=tan(x/2) pour tout x de ]0,;)/2[ (ça je l'ai fait)

3*on pose pour tout x de N : an= [2^(n+1) + (-1)^n] / 3


a/ montrer que : (quelque soit n£N) an+1= 2^(n+1) -an
et que ao=1

b/ montrer que Un= tan [(;).an)/ 2^(n+2)]

As-tu une idée du théorème que tu vas utiliser pour prouver que la suite est convergente ?

Sachant qu'on ne te demande pas sa limite dans la question 1, il est probable que tu aies besoin d'un théorème d'existence, ce qui ne te laisse pas beaucoup de choix...

[SaraMath]

As-tu une idée du théorème que tu vas utiliser pour prouver que la suite est convergente ?

Sachant qu'on ne te demande pas sa limite dans la question 1, il est probable que tu aies besoin d'un théorème d'existence, ce qui ne te laisse pas beaucoup de choix...

Si, on nous a demandé de trouver la limite.

[chombier]

Oups...

Je commencerais par prouver qu'elle est majorée et minorée, quand même.

Pour trouver la limite, le théorème du point fixe fera très bien l'affaire, pour prouver la limite, c'est moins facile, car la suite n'est ni croissante, ni décroissante.

Je sèche :cry:

[chombier]

Il faut sans doute passer par les suites et qui sont monotones, mais je doute que ce soit niveau terminale.

[SaraMath]

avant on nous a demandé de prouver que pour tout x de N*
|Un - 1/;)3| ;) 1/4 |Un-1 - 1/;)3|
en utilisant le théorème des accroissements finis.
Je crois que c'est ça qu'on va utiliser..

[chombier]

avant on nous a demandé de prouver que pour tout x de N*
|Un - 1/;)3| 1/4 |Un-1 - 1/;)3|
en utilisant le théorème des accroissements finis.
Je crois que c'est ça qu'on va utiliser..

Ah ben si tu dis pas tout...
Le théorème des accroissements finis ce n'est pas niveau terminale cependant

Bref, par récurrence |Un-1/;)3| < (1/4)^n |U0 - 1/;)3|

Un coup de suites geometrique, un coup de théorème des gendarmes et le tour est joué.

[SaraMath]

Ah ben si tu dis pas tout...
Le théorème des accroissements finis ce n'est pas niveau terminale cependant

Bref, par récurrence |Un-1/;)3| < (1/4)^n |U0 - 1/;)3|

Un coup de suites geometrique, un coup de théorème des gendarmes et le tour est joué.

Ah oui c'est que je ne suis pas française..
L'exercice est très long c'est pour ça que j'ai zappé la question d'où l'on déduira la convergence et limite par la suite:s

et pour les autres questions?
surtout le 3. b
Merci

[SaraMath]

Bon voilà pour l'exo 3. a/ j'ai calculé an+1 + an et ça m'a donné 2^(n+1)
c'est fait.
il ne me reste que le dernier, j'ai essayé de procéder avec récurrence mais vainement...