Math spé congruences et divisibilité

[Tracassin]

Bonjour, bonsoir !

J'essaye actuellement de résoudre un exercice qui me donne du fil à retordre, ils est sur les congruences. Voici l'intitulé :

1) Etablir que 4^3 est congru à 1 modulo 7. En déduire que, pour tout entier naturel n, les restes des divisions euclidiennes de 4^n par 7 forment une suite périodique.

2) En déduire le reste de 11^2014 dans la division euclidienne par 7.

Pour la 1), j'ai commencé en montrant que 4^3 et 1 avaient le même reste dans leur division euclidienne par 7. Puis, j'ai remarqué que 4^n était congru à 1 modulo 7 lorsque n était un multiple de 3 seulement (par exemple pour 4^1 le reste est 4, 4^2 le reste est 2, 4^3 le reste est 1, puis ca recommence à partir du reste 4 et la suite formée est périodique). Mais le problème c'est que je n'ai aucune idée comment prouver/démontrer cela, je souhaiterai avoir des pistes s'il vous plait.

Ensuite, pour ce qui est de la 2), j'ai remarqué que 11 était congru à 4 modulo 7 donc 11^2014 est congru à 4^2014 modulo 7. Cependant, je ne sais pas si c'est un bon début, et si c'en est un, je ne sais pas où aller ensuite avec ça.

Merci d'avance pour toutes indications !

[chombier]

Bonjour, bonsoir !

J'essaye actuellement de résoudre un exercice qui me donne du fil à retordre, ils est sur les congruences. Voici l'intitulé :

1) Etablir que 4^3 est congru à 1 modulo 7. En déduire que, pour tout entier naturel n, les restes des divisions euclidiennes de 4^n par 7 forment une suite périodique.

2) En déduire le reste de 11^2014 dans la division euclidienne par 7.

Pour la 1), j'ai commencé en montrant que 4^3 et 1 avaient le même reste dans leur division euclidienne par 7. Puis, j'ai remarqué que 4^n était congru à 1 modulo 7 lorsque n était un multiple de 3 seulement (par exemple pour 4^1 le reste est 4, 4^2 le reste est 2, 4^3 le reste est 1, puis ca recommence à partir du reste 4 et la suite formée est périodique). Mais le problème c'est que je n'ai aucune idée comment prouver/démontrer cela, je souhaiterai avoir des pistes s'il vous plait.

Ensuite, pour ce qui est de la 2), j'ai remarqué que 11 était congru à 4 modulo 7 donc 11^2014 est congru à 4^2014 modulo 7. Cependant, je ne sais pas si c'est un bon début, et si c'en est un, je ne sais pas où aller ensuite avec ça.

Merci d'avance pour toutes indications !

Tu appelles le reste de la division de 4^n par 7.

Pour démontrer que , il te suffit d'utiliser la formule pour tous les entiers a, b, c et n.

Pour la suite, tu es sur la bonne voie. Si 11 est congru à 4 modulo 7, alors 11^2014 est congru à 4^2014 modulo 7.

Il te suffit alors de remarquer que le reste de la division de 2^2014 par 7 n'est autre que . Le reste devrait venir aisément.