DM spé maths arithmétique (divisibilité congruences...)

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rafael38
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DM spé maths arithmétique (divisibilité congruences...)

par rafael38 » 23 Jan 2008, 17:15

Bonjour voila je vous donne l'énoncé du sujet :
"On considere l'équation (E) : 11x - 24y = 1 où (x;y) désigne un couple d'entiers
1)a) Enoncer un théoreme qui permet d'affirmer que (E) a au moins un couple solution
b) à l'aide de l'algorithme d'Euclide appliqué à 24 et 11, déterminer un couple solution de (E), écrire (sans rédiger le détail du raisonnement) l'ensemble de solution pour (E)
2)Recherche du pgcd de [(10^11) - 1] et de [(10^24) -1], noté ;) .
a) Vérifier que pour tout couple d'entiers naturels (u,v) solution de (E), on a : [(10^11u)-1] - 10[(10^24v)-1] = 9.
b)On rapelle que pour tout nombre x et pour tout n dans N*, on a : x^n=(x-1)(x^(n-1) + ... + x + 1).
Prouver que pour tous k et l dans N* : [(10^k)-1] divise [(10^kl)-1].
c)En déduire que 9 divise [(10^11)-1] et [(10^24)-1] ; en déduire aussi qu'il existe deux entiers U et V tels que : [(10^11) - 1]U - [(10^24) -1]V = 9.
d) Déterminer alors ;), en justifiant bien."

Voila donc j'ai fait toute la partie 1 + la question 2.a) j'en suis donc a la question 2.b) ou je suis vraiment bloqué j'arrive aps a prouver que [(10^k)-1] divise [(10^kl)-1] et impossible de trouver la solution j'ai essayé de faire la fin de l'exercice mais sans succes...donc si quelqu'un pouvait m'aider ce serait bien sympa merci d'avance ....



Joker62
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par Joker62 » 23 Jan 2008, 17:31

Hello ;)
Bon dernière fois !
On prévient pas par MP parce que j'aime pas ça :S

x^n=(x-1)(x^(n-1) + ... + x + 1)


C'est faux !!!
x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1) + ... + x + 1) ok


Pour 2)b) 10^(kl) - 1 = (10^k)^l - 1

Applique donc l'égalité du dessus pour conclure ;)

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 17:39

ah oui j'avais mal réécris l'énoncé mais depuis tout a l'heure j'essaye d'appliquer l'égalité et j'arrive pas a rpouver que [(10^k)-1] divise [(10^kl)-1] XD

déja je trouve ====>
[(10^k)-1] = 9 [10^(k-1) +...+ 10 + 1] et
[(10^kl)-1] = 9 [10^(kl-1) +...+ 10 + 1]...j'espere que déja ca c'est bon mais ensuite j'arrive vraiment pas a voir comment je peux enchainer pour prouver que [(10^k)-1] divise [(10^kl)-1]

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 17:41

désolé j'avais pas vu ton avant derniere ligne ba je vais essayer de voir ce que ca me donne...^^

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:01

ok mercii j'ai trouvé ^^ c'était tout simple mdr et je cherchais depuis une heure par contre pour la 2.c) est ce qu'il faut remplacer dans l'équation qu'on a a la question 2.a) ???mais a vrai dire ca me mene a rien du tout pour l'instant...une autre idée ?????

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:13

comment déduire que 9 divise [(10^11)-1] et [(10^24)-1] ????????? Quelqu'un peut il m'aider???????????? :hein:

Joker62
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par Joker62 » 23 Jan 2008, 18:14

Bézout ? :^)

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:19

pour déduire que 9 divise [(10^11)-1] et [(10^24)-1] je peux utiliser bézout ????

Joker62
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par Joker62 » 23 Jan 2008, 18:24

Nan je répondais juste à la question que t'as posée avant d'avoir effacé tout ça !

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:29

oui je me disais merci je garde donc tout ca en mémoire j'utiliserais bézout ^^ mais je te dis ce que j'ai écris pour déduire que 9 divise [(10^11)-1] et [(10^24)-1] :

j'ai tout simplement écris que (10^k)-1 = 9[10^(k-1) + ... + 10 + 1] donc 9/(10^k)-1 donc 9 divise [(10^11)-1] et [(10^24)-1] (on prend k=11 et k=24)
Mais ca ne me parait bizarre j'ai vraiment l'impression que c'est aps ca que je devais faire ....

PS :pour bézout je ne trouve pas car on ne connait pas le pgcd de [(10^11)-1] et [(10^24)-1] ...

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:44

:briques: :mur:

Joker62
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par Joker62 » 23 Jan 2008, 18:46

c) En déduire

Donc on doit en déduire

on a vu que 10^k - 1 divise 10^kl - 1

on pose k = 1
et l = 11
Puis c'est fini

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:54

j'avais fait quelque chose qui ressemblait a ca mais en me compliquant la vie !!! merci !!! et pour bézout tu es sur car on a pa le pgcd de [(10^11)-1] et [(10^24)-1].....

Joker62
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par Joker62 » 23 Jan 2008, 18:55

Bé t'attend quoi pour le calculer ?

rafael38
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par rafael38 » 23 Jan 2008, 18:55

je suis pas sur de ton idée la...de calculer le pgcd parce que c'est la question d'aprés ca donc je voulais savoir si je pouvais dire (mais je sais vraiment pas si c'est bon) que 9 est un diviseur de [(10^11)-1] et [(10^24)-1] donc selon bézout il existe deux entiers U et V tels que [(10^11) - 1]U - [(10^24) -1]V = 9 ????????

rafael38
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par rafael38 » 24 Jan 2008, 00:56

j'ai toujours pas avancé...... je n'arrive toujours pas a déduire qu'il existe deux entiers U et V tels que [(10^11) - 1]U - [(10^24) -1]V = 9
est ce que quelqu'un peut vraiment m'aider je bloque totalement depuis cet apres midi ! :mur:

rafael38
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par rafael38 » 24 Jan 2008, 01:09

il y a quelqu'un qui peut m'aider iciiii ?????????????????????

rafael38
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par rafael38 » 24 Jan 2008, 15:56

j'attends toujorus...s'il vous plait aidez moi !

 

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