Diagonalisation Matrice

[cosmy05]

Bonsoir, alors je suis en train de faire un petit exercice d'algèbre où je suis vraiment bloqué

J'ai la matrice A que je dois diagonaliser
[CENTER] 1 -1 3
2 4 4
1 4 0 [/CENTER]

J'ai donc calculé A-xId =
[CENTER] 1-x -1 3
2 4-x 4
1 4 -x[/CENTER]

Alors j'ai bien sur calculé le polynôme caractéristique et je tombe sur -x^3 + 5x^2 +13x - 8
Ce polynôme non seulement est irréductible mais en plus je trouve pas de racine évidente
Donc je n'arrive pas à trouver les valeurs propres de la matrice donc j'peux même pas tenter la diagonalisation
J'ai bien sur essayé de faire de petites opérations sur les colonnes pour simplifier et obtenir des 0 sur les lignes et les colonnes mais sans résultat.
J'ai tenté d'utiliser un programme trouvé sur internet pour les valeurs propres mais j'ai trouvé des résultants aberrants : http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=FO5EA48842.1&lang=fr&cmd=reply&module=tool%2Flinear%2Fmatrix.fr&matrix=1+-1+3%0D%0A2+4+4+%0D%0A1+4+0&show=invariant&show=eigen&formula=A%5E2%2B3*A%2B2&register=1

Je sais donc pas quoi faire à part abandonner et marquer sur la feuille "Je sais pas comment diagonaliser cette matrice"

Si quelqu'un à des idées ou a trouvé un moyen de la résoudre cette matrice, je suis preneur
Merci d'avance ^^

[leon1789]

Alors j'ai bien sur calculé le polynôme caractéristique et je tombe sur -x^3 + 5x^2 +13x - 8

oui c'est exact

Ce polynôme non seulement est irréductible mais en plus je trouve pas de racine évidente

Je ne sais pas si tu comprends bien ce que tu viens d'écrire :
le polynôme est irréductible dans Q[x] mais il se factorise dans R[x] ou C[x].

Du fait qu'il soit irréductible sur Q et de degré 3 , il ne peut pas avoir de racine dans Q ! Donc pas de racine évidente.

Donc je n'arrive pas à trouver les valeurs propres de la matrice donc j'peux même pas tenter la diagonalisation

Effectivement, la matrice n'est pas diagonalisable sur Q, mais on peut montrer qu'elle est diagonalisable sur C (et R également). Le corps de base est très important pour la diagonalisation : il faut toujours que le texte indique sur quel corps on travaille.

Plaçons-nous sur C. Montrons que la matrice est diagonalisable, sans la diagonaliser !
Connais-tu un critère de diagonalisation portant sur les racines d'un certain polynôme lié à la matrice ?

[cosmy05]

Ah oui effectivement, vous avez raison je pensais qu'irréductible impliquait directement sur le fait que le polynôme n'était pas factorisable dans R ou dans C
Dans tous les cas ce que je voulais dire c'est que j'arrivais pas à factoriser le polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres
Au fait j'ai besoin de ces valeurs propres pour montrer que la matrice est diagonalisable
Je sais qu'une martrice est diagobalisable si la somme des multiplicités des racines du polynôme caractéristique est égale à la taille de la matrice
Comme j'ai une matrice 3x3 j'ai besoin que cette somme des multiplicités soit égale à 3 mais sans connaitre les racines (savoir si elles sont simples, doubles ou même triples) c'est un peu dur de montrer si cette matrice est bel et bien diagonalisable :-/

Le problème c'est que je ne sais pas comment factoriser un polynôme de degré 3 comme celui là Généralement dans la plupart des exercices il y a toujours une petite astuce soit lorsqu'on calcule le polynôme caractéristique il y a une certaine astuce qui apparait pour le factoriser directement soit sinon en faisant des permutations sur les lignes et colones
Ici dans mon exemple j'ai rien trouvé comme méthode de factorisation

Effectivement merci pour l'indice le fait de diagonaliser en C m'a fait penser que les racines du polynomes devraient être complexes mais j'ai toujours pas réussi à beaucoup avancer
Pouvez-vous s'il vout plait m'expliquer comment vous feriez pour trouver les racines de mon polynôme :)?

[leon1789]

Au fait j'ai besoin de ces valeurs propres pour montrer que la matrice est diagonalisable

on peut prouver qu'une matrice est diagonalisable sans connaître ses racines. C'est comme ça dans cet exo justement.

Je sais qu'une martrice est diagobalisable si la somme des multiplicités des racines du polynôme caractéristique est égale à la taille de la matrice

ceci est incorrect.

Si ceci était vrai, alors toutes les matrices seraient diagonalisables sur C ! Tu connais une matrice 2x2 non diagonalisable ?

En tout cas, c'est la bonne piste : reprend le bon théorème du cours. :lol3:

Le problème c'est que je ne sais pas comment factoriser un polynôme de degré 3 comme celui là
Généralement dans la plupart des exercices il y a toujours une petite astuce soit lorsqu'on calcule le polynôme caractéristique il y a une certaine astuce qui apparait pour le factoriser directement soit sinon en faisant des permutations sur les lignes et colones
Ici dans mon exemple j'ai rien trouvé comme méthode de factorisation

Dans l'absolu, c'est difficile de factoriser. Sur beaucoup d'exos, les polynômes sont simples donc souvent factorisables, mais ici ce n'est pas le cas. Cela n'empêche pas de pouvoir prouver que la matrice est diagonalisable (sans connaître les valeurs propres, sans connaitre les facteurs irréductibles, etc).

Pouvez-vous s'il vout plait m'expliquer comment vous feriez pour trouver les racines de mon polynôme ?

non, on ne trouvera pas les racines, on fait autrement dans ce genre d'exo.

[cosmy05]

Alors en étant redoublant je sais qu'on peut passer par Cayley Hamilton et si je me trompe pas il y a une histoire avec le polynôme minimal
Mais pour l'instant on a pas vu en classe Cayley Hamilton donc je pense pas qu'il faut l'utiliser
En plus l'énoncé de l'exercice dit :

Diagonalisez A si possible et en déduire A^n

Et bien diagonaliser cette matrice uniquement en passant par A=PDP^(-1) me parait un peu difficile quand même

Peut être que le prof a mis un peu des chiffres au hasard sans se rendre compte :D

[leon1789]

Peut être que le prof a mis un peu des chiffres au hasard sans se rendre compte

Je te dis que c'est faisable ! ... mais il est vrai qu'on n'aura pas de matrices de Passage et Diagonale sou nos yeux.

Encore une fois, on va prouver qu'elle est diagonalisable ... sans la diagonaliser. Cela ne t'est pas intuitif, mais on va voir comment !




Que sais-tu sur les sous-espaces propres ? lien avec la diagonalisation ?
lien entre valeurs propres et poly. caractéristique ?
Graphe du poly. caractéristique sur R : combien de racines ?
combien de valeurs propres ? donc combien de sous-espaces propres ?
conclusion !

[cosmy05]

Que sais-tu sur les sous-espaces propres ? lien avec la diagonalisation ?
lien entre valeurs propres et poly. caractéristirque ?

En regardant mon cours je vois juste que la somme des dimensions des sous-espaces propres associés aux valeurs propres doit être égal à la taille de la matrice
Pour ce qui est des valeurs propres c'est les racines du polynôme caractéristique


J'ai du mal à comprendre ce que je dois faire malgré tous vos indices
Quand j'ai un exo comme ça un peu hors du commun je sais pas trop comment faire

[leon1789]

En regardant mon cours je vois juste que la somme des dimensions des sous-espaces propres associés aux valeurs propres doit être égal à la taille de la matrice...

...pour que la matrice soit diagonalisable. Oui.

Plus précisément,
dans tous les cas, la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à la taille de la matrice.
On a égalité si et seulement si la matrice est diagonalisable.

Pour ce qui est des valeurs propres c'est les racines du polynôme caractéristique

oui.

As-tu fait une petite étude du polynôme caractéristique sur R ? (pour savoir combien il a de racines, et donc pour savoir combien il y a de valeurs propres...) Petite étude = dérivée, tableau de variations, graphe approximatif.

J'ai du mal à comprendre ce que je dois faire malgré tous vos indices

Ca va venir, pas de panique... :we:

[cosmy05]

As-tu fait une petite étude du polynôme caractéristique sur R ? (pour savoir combien il a de racines, et donc pour savoir combien il y a de valeurs propres...) Petite étude = dérivée, tableau de variations, graphe approximatif.

Je suis en train justement , quand je dérive j'obtiens -3x^2+10x+13 qui se factorise assez aisément en (x+1)(13-3x)
Donc les racines de la dérivé sont -1 et 13/3 et en faisant le tableau j'obtiens que mon polynome est décroissant entre - infini et -1 , croissant entre -1 et 13/3 et décroissant entre 13/3 et + infini
Comme je suis pas capable de calculer les valeurs de mon polynôme en +infini et - infini j'ai 2 limites donc je trouve que le poly est croissant entre -15 et 1643/27
J'ai fait le graphe ça a l'air d'être cohérent
Et effectivement la courbe de mon polynôme croise la droite des abscisses 3 fois donc j'conclus qu'il y a 3 racines à mon polynôme

Maintenant par rapport à ce que vous avez dit : La somme des dimensions des sous-espaces propres doit être inférieure ou égale à la taille de la matrice, et si c'est égale ben la matrice est diagonalisable

J'imagine que les 3 racines de mon polynômes sont simples donc j'peux écrire que mon polynôme caractéristique que je vais appeler P(X) par exemple est égale à (X-X1)(X-X2)(X-X3) où X1 , X2, X3 sont des racines donc j'espère que je saute pas trop des étapes mais comme mon P(X) est scindé en 3, ça veut pas dire directement que ma matrice est diagonalisable ?

[leon1789]

(...)
Maintenant par rapport à ce que vous avez dit : La somme des dimensions des sous-espaces propres doit être inférieure ou égale à la taille de la matrice, et si c'est égale ben la matrice est diagonalisable

exactement, il y a 3 racines dans R. Certes on ne les connait pas exactement, mais pas grave, comme il y a en 3 distinctes, c'est gagné (cf dessous).

J'imagine que les 3 racines de mon polynômes sont simples donc j'peux écrire que mon polynôme caractéristique que je vais appeler P(X) par exemple est égale à (X-X1)(X-X2)(X-X3) où X1 , X2, X3 sont des racines donc j'espère que je saute pas trop des étapes mais comme mon P(X) est scindé en 3, ça veut pas dire directement que ma matrice est diagonalisable ?

Si c'est bon, mais il faut peut-être expliquer un peu :
Tu as combien de valeurs propres ? 3
Tu as combien d'espaces propres ?
La somme de leurs dimensions vaut donc combien ?
Conclusion ?