Inégalité casse-tête

par **samsam1992** » 27 Oct 2013, 16:36

Bonjour,

Voilà, je bloque totalement sur la question d'un exercice. En fait, on a une équation récurrente, dont on doit montrer que l'intervalle I=[9;25] est stable pour f (ça ne m'a pas posé de problème) puis que f est contractante sur I et c'est là que je suis coincée:

u n+1 = 3/4 un + un^1/2 =f(un) (le n et le n+1 sont des indices).

Pour rappel, une fonction f est contractante sur un intervalle fermé I si pour tout x et tout y appartenant à I, il existe un k appartenant à ]0;1[ tel que:

|f(x)-f(y)| < ou = à k|x-y|

C'est donc cette inégalité qu'il faut démontrer (on doit obtenir cette inégalité avec un k égal à 11/12), et je n'y arrive pas du tout :(((

Quelqu'un aurait-il une idée?
Merci d'avance.

par **lionel52** » 27 Oct 2013, 16:47

Utilise le théorème des accroissements finis !

par **samsam1992** » 27 Oct 2013, 16:57

On ne l'a pas fait en cours, donc l'idéal serait de multiplier et diviser par ci par là pour obtenir l'inégalité.

En admettant que je puisse utiliser ce théorème, j'ai cru comprendre qu'il fallait montrer que f'(x)<1.
Sauf que dans mon cas, ma dérivée est:

f'(x)= 3/4 +1/(2 racine de x). Je ne sais pas trop comment démontrer que f'(x)<1 sur [9,25]...

par **samsam1992** » 27 Oct 2013, 17:02

Finalement j'ai peut-être trouvé avec le théorème des accroissements. Sur l'intervalle, au max la dérivée peut être égale à 11/12 si l'on prend x=9 ce qui est bien inférieur à 1.
C'est marrant on obtient une valeur égale au k que je cherchais...

Mais mon vrai problème est que je n'ai pas le droit d'utiliser ce théorème....

par **MMu** » 27 Oct 2013, 17:33

... je te laisse continuer ... :zen:

par **samsam1992** » 28 Oct 2013, 10:37

Merci MMu!!! Tu viens d'illuminer ma journée :D

par **deltab** » 28 Oct 2013, 12:13

Bonjour.

samsam1992 a écrit:Finalement j'ai peut-être trouvé avec le théorème des accroissements. Sur l'intervalle, au max la dérivée peut être égale à 11/12 si l'on prend x=9 ce qui est bien inférieur à 1.
C'est marrant on obtient une valeur égale au k que je cherchais...

Mais mon vrai problème est que je n'ai pas le droit d'utiliser ce théorème....

Mais tu peux toujours le contourner en montrant que le taux d'accroissement

est borné, ici par uns constante

. Mmu s'est finalement ramené à ça

par **samsam1992** » 29 Oct 2013, 15:40

ça marche! merci :))

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