DM Mathématiques - Niveau TS

[Akinarie]

Bonjour, je suis actuellement en TS donc en vacances. Qui dit vacances, dit Devoir Maison de Maths pour moi.

Je voulais demander de l'aide concernant un exercice :
- Suites géométriques
- Nombres complexes ( modules )

On pose Z0=2 et Zn+1 = ((1+i)/2) Zn

J'ai calculer Z1,Z2,Z3,Z4 j'obtiens :
Z1 = 1+i
Z2 = i
Z3 = (i-1)/2
Z4 = -1/2

Dans une seconde question on me demande de justifier que Un est géométrique, telle que Un= 2 (1/ racine de 2 )^n . Je sais juste que Un = Module (Zn)
Je suis totalement bloquée.
J'en est déduis que Un est une suite de raison q = (1/racine de 2 ) et de premier terme U0=2, et c'est tout je n'arrive pas a le prouver.
Si quelqu'un est capable de m'aider je suis preneuse ! Même une simple piste de raisonnement ! Merci d'avance ! A+

[Monsieur23]

Aloha,

Tu peux montrer que Un = 2 (1/racine 2)^n par récurrence sur n :

;) tu montres d'abord que |Z0| = 2;);
;) tu montres que si |Zn| = 2 (1/racine 2)^n, alors tu peux en déduire que |Z(n+1)| = 2 (1/racine 2)^(n+1) (tu connais Z(n+1) en fonction de Zn;)!)

[Akinarie]

Merci beaucoup !

[chombier]

Tu peux aussi constater que Zn étant géométrique, Zn=Z0 ((1+i)/2)((1+i)/2)^n et ensuite utiliser le fait que |a b| = | a | | b | et | a^n | = | a |^n :)

[Akinarie]

Merci beaucoup,j'ai réussi :)