Suite: démonstration par récurrence et convergence

[choupiflou]

Bonjours, j'ai des petits problèmes sur des exercices que le prof nous a donné, pouvez-vous m'aider svp?


On considère la suite (Un) définie pour tout n [smb]appartient[/smb][smb]N[/smb] par:
U0=3 =(3Un-4)/(Un-1)

1. a) Démontrer, par récurrence, que cette suite est minorée par 2.
b) Prouver que, pour tout n[smb]appartient[/smb][smb]N[/smb], - Un=-(Un-2)²/(Un-1). En déduire le sens de variation de (Un)
c)Justifier que cette suite est convergente
d) Justifier qu'elle converge vers 2

2. On considère la suite (Vn) définie pour tout n [smb]appartient[/smb][smb]N[/smb] par:
Vn=1/(Un-2)
a) Démontrer que cette suite est arithmétique
b) Donner l'expression de Vn puis celle de Un en fonction de n.


Ce que j'ai fais:

1. a) J'ai vraiment du mal à trouver je vous montre ou je suis bloqué:
Initialisation: pour n=0, U0=3 soit U0[smb]supegal[/smb]2. VRAI
Hérédité: supposons que la propriété est vrai pour un certain entier k[smb]supegal[/smb]0 c'est à dire Uk[smb]supegal[/smb]2
Montrons qu'elle reste vrai pour k+1[smb]supegal[/smb]0 c'est à dire [smb]supegal[/smb]2
Montrons le: le problème c'est que dans l'expression de il y a deux fois Un (soit Uk pour ici) je ne sais pas comment commencer

b) -Un= ((3Un-4)/(Un-1))-Un
=(3Un-4-Un²+Un)/(Un+1)
= (-Un²+4Un-4)/(Un-1)
=(-(Un-2)²)/(Un-1)

Comme le carré d'en haut est précédé d'un moins l'opération est négative donc Un est décroissante

c) comme elle est minoré par 2 et qu'on a prouvé qu'elle était décroissante alors elle converge
d) Comme nous disons qu'elle est minoré par 2 alors elle converge vers 2

2. a) J'ai essayé -Vn mais je trouve à la fin : (Un-2)/(Un-2)=1 c'est ça?
b) Je n'arrive pas je ne comprends pas ce qu'il faut faire