Probleme suites numeriques

[charlotte44]

Bonjour,
j'ai un problème avec cet exercice ;

Soit f la fonction de R \ {;);)2,;)2} dans R dé;)nie par f(x) = x²/(2-x²)
. Soit u0 ;) [0,1[. On dé;)nit par récurrence la suite (un)n;)N qui véri;)e, pour tout
n ;) N, un+1 = f(un).
1. Montrer que pour tout x ;) [0,1[, f(x) ;) [0,1[ et en déduire que la suite (un)n;)N est
bien dé;)nie.
2-Montrer que (un)n;)N décroît.
3. En déduire que la suite (un)n;)N converge.
4. Quelle est sa limite ?
5. On suppose maintenant u0 = 1. Que peut-on dire de la suite (un)n;)N ?

pour le 1 j'ai fait :
-soit x appartient à [0,1], puisque 0recurrence pour montrer que la suite est definie :
- puisque U0 appartient a [0,1] donc U0>0 donc vrai
- on suppose la propriété vraie au rang n, montrons qu'elle reste vraie au rang n+1
n²/(2-n²)>0 d'ou Un+1>0 donc la suite est bien définie

mais pour la question 2 , je ne comprends pas ce qu'est Un, je pensais que c'etait n²/(2-n²), mais elle est croissante..et non dé"croissante

Merci pour votre aide.

[siger]

bonjour

un = (u(n-1)^2/(2-u(n-1)^2) et non un n^2/(2-n^2))

[charlotte44]

d'accord, et donc pour prouver quelle décroit comment puis je faire?
j'ai essayé Un+1-Un mais ça ne donne rien d'interessant..

[siger]

re

tu utilises la question 1 et les proprietes de f(x)
....

[Maxmau]

d'accord, et donc pour prouver quelle décroit comment puis je faire?
j'ai essayé Un+1-Un mais ça ne donne rien d'interessant..

Bj
Mais si!!
Un+1 - Un = f(Un) - f(Un-1) = (Un - Un-1)f'(c) où c entre Un-1 et Un (th des AF)

autre méthode: étudie le signe de f(x) - x d'où le signe de f(Un) - Un

[charlotte44]

Bonsoir;
j'ai compris le principe pour montrer qu'une suite est decroissante ou croissante,
j'ai essayé de faire f(Un)-Un ce qui donne n²/(2-n²) - U(n-1)²/(2-U(n-1))
mais je ne vois pas comment je pourrais le simplifier pour ainsi conclure..
il faut que je développe les identités remarquables?

[charlotte44]

j'ai fais f(Un)-Un , ça donne Un²/(2-Un²) - Un = ( Un²-2Un-Un^3)/(2-Un²)
= - (Un^3 - Un²+ 2Un)/2-Un² ce qui est <0 elle est donc décroissante?

[Maxmau]

j'ai fais f(Un)-Un , ça donne Un²/(2-Un²) - Un = ( Un²-2Un-Un^3)/(2-Un²)
= - (Un^3 - Un²+ 2Un)/2-Un² ce qui est <0 elle est donc décroissante?

OK mais il faut justifier que la quantité est negative

[deltab]

Bonsoir.

@charlotte44

Pourquoi n'as tu pas suivi le conseil de Maxmau concernant l'autre méthode (étudier la fonction ) , l'étude du signe de est plus aisé que le signe de .

[charlotte44]

Bonsoir.

@charlotte44

Pourquoi n'as tu pas suivi le conseil de Maxmau concernant l'autre méthode (étudier la fonction ) , l'étude du signe de est plus aisé que le signe de .

Bonjour,
si je fais f(x)-x ça me donne x²/(2-x) - x je sais que f(x) est croissante ( j'ai fais la dérivée.. ) donc f(x)> x et donc Un decroit? est ce bien ça?..

[deltab]

Bonjour

Bonjour,
si je fais f(x)-x ça me donne x²/(2-x) - x je sais que f(x) est croissante ( j'ai fais la dérivée.. ) donc f(x)> x et donc Un decroit? est ce bien ça?..

C'est le signe de f(x)-x qui nous intéresse le plus pas celui de f.
Le fait que f est strictement croissante nous donne ici vu que f(0)=0, f(x)>=0 c'est à dire le signe de f(x) pas celui de f(x)-x.

Si , la suite récurrente serait d'après toi décroissante, est >0 ou <0