Division sur Z !

[reda-kun]

trouver les entiers naturels n de sorte à ce que

n ;) 2 [7]
n ;) 1 [5]

Merci d'avance pour votre aide

[Skullkid]

Bonjour, qu'as-tu essayé ? Tu devrais avoir un ou des théorèmes dans ton cours qui permettent de résoudre des systèmes de congruences (notamment le "théorème des restes chinois").

[reda-kun]

Bonjour, qu'as-tu essayé ? Tu devrais avoir un ou des théorèmes dans ton cours qui permettent de résoudre des systèmes de congruences (notamment le "théorème des restes chinois").

Salut.

Alors en fait c'est juste des exos sur les congruences qu'un ami m'a prêté

J'ai essayé un tas de trucs :

-rendre les relations sous forme :

n= 7k+2
n=5k'+1

j'ai essayé de trouver les variables k et k' en me basant sur le fait que n est une constante du genre y = ax+b et y'= cx+d mais c'est une idée complètement fantaisiste je l'avoue puisque les constantes n que j'ai trouvé et qui sont sensés être naturels n'étaient pas vraiment ... naturels.

-Travailler sur la relation
x y [n] ---> ax ay [an]
en multipliant les deux modules :
du coup j'ai obtenu 5n 10[35]

mais le résultat obtenu (9) ne concorde pas !

bref tout ce pavé pour dire que je n'ai plus aucune idée ^^

[reda-kun]

Sinon pour le théorème des restes chinois. Jamais entendu parlé

[nodjim]

7k+2=5k'+1
7k-5k'=-1
5(k-k')+2k=-1
5A+2k=-1
vrai pour k=-3 et A=1
les solutions sont 7(-3+5k)+2=7(2+5k)+2=35k+16

[reda-kun]

J'ai trouvé la réponse 16 mais avec une methode complètement stupide ...
J'ai fait une sorte de tableau avec ce qu'ils égalent par rapport à leur module ...

012345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 ;) [1]
012345601 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 .......................................... ;) 7]

0123401234 0 1 2 3 4 0 1 ..................................................................


Bref c'est une méthode plus que capillotractée ( le pire c'est que 16 ne doit sûrement pas être la seule solution ... ) N'y a t-il pas une autre façon de résoudre cette exo ?

[nodjim]

Ta méthode est valable, mais ne peut s'appliquer pour des grands nombres.
Il y a quelque chose à savoir, c'est que si les coeff sont premiers entre eux (ici, 7 et 5) alors les solutions sont modulo produit des coeff, ici 35.
Sinon, à part la méthode des restes chinois (la méthode que j'utilise est légèrement différente) je ne vois pas trop comment tu peux t'en sortir.

[reda-kun]

7k+2=5k'+1
7k-5k'=-1
5(k-k')+2k=-1
5A+2k=-1
vrai pour k=-3 et A=1
les solutions sont 7(-3+5k)+2=7(2+5k)+2=35k+16

Ok merci beaucoup pour ton aide !

C'est la seule méthode ou es ce qu'il y en a une autre se basant sur la congruence ?

[reda-kun]

Ta méthode est valable, mais ne peut s'appliquer pour des grands nombres.
Il y a quelque chose à savoir, c'est que si les coeff sont premiers entre eux (ici, 7 et 5) alors les solutions sont modulo produit des coeff, ici 35.
Sinon, à part la méthode des restes chinois (la méthode que j'utilise est légèrement différente) je ne vois pas trop comment tu peux t'en sortir.

Ah d'accord !

En fait je viens de réaliser que lors de mon utilisation de la relation

x y[n]--->ax ay[an]

et que j'obtiens : 5n 10 [35]

J'ai la solution sous mon nez et je m'en rends pas compte !

En tous les cas merci pour ton aide qui m'aura permis de connaitre ta méthode bien plus simple surtout pour les grands nombres !

Quand t'as pis A = 1 tu as choisi le nombre le plus petit sur les solutions A = 2k + 1 ou bien t'as trouvé directement la réponse "1" ?

[reda-kun]

Ah c'est bon je viens de capter ^^
t'as utilisé K = 5k+2 ( puisque 5k-3 = 5k+2 ) et t'as trouvé la valeur de n !

Merci beaucoup !