Exercice sur les probabilités et suites

[ViolaineV]

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que:
-la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0.1
-s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0.8
-s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0.6
On note, pour tout entier naturel n non nul :
Gn l’événement "le joueur gagne la n-ième partie"
Pn la probabilité de l'événement de Gn
On a donc P1=0.1
1) Montrer que P2=0.62
2) Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
3) Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties
4) Montrer que pour tout entier naturel n non nul : Pn+1=(1/5)Pn+3/5
5) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : Pn=(3/4)-(13/4)*(1/5)^n

Je suis bloquée pour les 3dernières questions :/

[Sylviel]

Bonjour,

pour la 3) c'est une astuce classique : il faut calculer la probabilité de l'évènement contraire. En effet le contraire de "au moins une" est beaucoup plus simple c'est ... dont la proba est ...
Donc la proba demandée dans la question 3 c'est...

4) il faut séparer en deux cas :
soit il a gagné la partie n, alors la proba qu'il gagne la partie n+1 est ...
soit il a perdu la partie n alors la proba qu'il gange la partie n+1 est ...

Cela se traduit mathématiquement ainsi :


5) démonstration par récurrence simple.