DM terminale scientifique

[sanosuke]

Bonjour,

Enoncé :

On considère l'équation x^3=px+q. (1)

On cherche x sous la forme x=u+v avec uv=p/3.

Montrer que l'équation (1) est équivalente à u^3+v^3 = q et u^3v^3=p^3/27.

Démontrer alors que u^3 et v^3 sont solution de l'équation (2) : X^2-qX+p^3/27=0

Résoudre l'équation (2) dans le cas où q^2-4p^3/27>=0.

En déduire, toujours dans le cas où q^2- 4p^3/27>=0, une solution de l'équation (1).

La formule trouvée est la formule dite de Cardan dans le cas où q^2- 4p^3/27>=0.

Calculer q^2- 4p^3/27 dans le cas de l'équation x^3=15x+4

En introduisant i tel que i^2=-1, écrire q^2-4p^3/27 sous la forme du carré d'un complexe.

> Calculer (2+i)^3 et (2-i)^3.

> Déterminer une solution alpha de l'équation x^3=15x+4 à l'aide de la formule de Cardan.

> Déterminer trois réels a, b et c tels que x^3-15x-4= (x-alpha)(ax^2+bx+c).

> En déduire les solutions dans |R de l'équation x^3=15x+4.



J'ai fait

x^3=px+q
-x^3+px+q=0
-(u+v)^3 + 3uv(u+v)+q=O
-(u+v)^3 + 3uv(u+v)+(u^3 + v^3) =0
-(u+v)^3+3uv(u+v)+(u^3+v^3)=-x^3+px+q
p=3uv q=u^3+v^3
p/3=uv
p^3/27=u^3v^3


et a partir de la je bloque.

merci de votre aide

[Sourire_banane]

Salut,
La première question tu la fais pas ?

[sanosuke]

Salut,
La première question tu la fais pas ?

si la 1ere c bon , merci

[Sourire_banane]

Bonjour,

Enoncé :

On considère l'équation x^3=px+q. (1)

On cherche x sous la forme x=u+v avec uv=p/3.

Montrer que l'équation (1) est équivalente à u^3+v^3 = q et u^3v^3=p^3/27.

Démontrer alors que u^3 et v^3 sont solution de l'équation (2) : X^2-qX+p^3/27=0

Résoudre l'équation (2) dans le cas où q^2-4p^3/27>=0.

En déduire, toujours dans le cas où q^2- 4p^3/27>=0, une solution de l'équation (1).

La formule trouvée est la formule dite de Cardan dans le cas où q^2- 4p^3/27>=0.

Calculer q^2- 4p^3/27 dans le cas de l'équation x^3=15x+4

En introduisant i tel que i^2=-1, écrire q^2-4p^3/27 sous la forme du carré d'un complexe.

> Calculer (2+i)^3 et (2-i)^3.

> Déterminer une solution alpha de l'équation x^3=15x+4 à l'aide de la formule de Cardan.

> Déterminer trois réels a, b et c tels que x^3-15x-4= (x-alpha)(ax^2+bx+c).

> En déduire les solutions dans |R de l'équation x^3=15x+4.



J'ai fait

x^3=px+q
-x^3+px+q=0
-(u+v)^3 + 3uv(u+v)+q=O
-(u+v)^3 + 3uv(u+v)+(u^3 + v^3) =0
-(u+v)^3+3uv(u+v)+(u^3+v^3)=-x^3+px+q
p=3uv q=u^3+v^3
p/3=uv
p^3/27=u^3v^3


et a partir de la je bloque.

merci de votre aide

La deux est pourtant bien connue : On sait que dans une équation du second degré du type ax²+sx+p=0, on a r1 et r2 les racines (si elles existent dans R pour faire simple) qui vérifient -s/a = r1 + r2 et p/a = r1*r2