Algèbre linéaire, sous-espaces vectoriels

[TheZepp]

Bonjour/Bonsoir à tous et à toutes. J'ai un problème avec exo et j'espére que vous pourrez m'aider.
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Enoncé :
Prouver que dans R3 les vecteurs u1=(2,3,-1) et u2=(1,-1,-2) engendrent le même s.e.v. que les vecteurs v1=(3,7,0) et v2=(5,0,-7).
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Tout aide sera très appréciée. Merci d'avance..

~TheZepp~

[adrien69]

Salut,

Calcule det(u1,u2,v1), det(u1,u2,v2). Tu en déduis quoi ? Puis quel est le rang de la famille (v1,v2) ?

[TheZepp]

Calcule det(u1,u2,v1), det(u1,u2,v2). Tu en déduis quoi ?

Les deux déterminant sont nuls, donc deux vecteurs de chaque famille sont égaux.

Puis quel est le rang de la famille (v1, v2)?

J'ai montré que la famille est libre donc son rang = 2

[adrien69]

C'est complètement faux. Ils t'ont l'air égaux les vecteurs ? Ça veut dire que la famille est liée, soit encore que l'un des vecteurs (au choix) appartient au sous-espace engendré par les deux autres.

[adrien69]

C'était un peu sec comme réponse, désolé, mais c'est vraiment vraiment faux. Une condition suffisante n'est pas une condition nécessaire.

[TheZepp]

C'était un peu sec comme réponse, désolé, mais c'est vraiment vraiment faux. Une condition suffisante n'est pas une condition nécessaire.

Ah oui! Vous avez raison, je n'ai pas fais attention aux vecteurs. :mur: Je n'arrive pas a résoudre cet exo..

[jlb]

Ah oui! Vous avez raison, je n'ai pas fais attention aux vecteurs. :mur: Je n'arrive pas a résoudre cet exo..

tu montres que v1 appartient à vect(u1,u2): par exemple, en exhibant a,b tels que v1=au1+bu2 ( petit système à résoudre) et rebelotte pour v2

Du coup vect(v1,v2) est contenu dans vect(u1,u2) et après tu montres que ces deux ev ont même dimension

ou sinon, tu suis les indications d'Adrien en précisant que u1 et u2 ne sont pas liés, ce qui saute aux yeux.

[adrien69]

En fait le v1 appartient à vect(u1,u2), le calcul du déterminant (0) nous l'indique, et c'est vachement plus pratique que de résoudre un système quand on est en dimension 3.
D'autre part c'est inutile de regarder si u1,u2 sont liés. On doit dans tous les cas regarder si v1,v2 le sont, mais comme on a montré vect(v1,v2) inclus dans vect(u1,u2), le rang de (u1,u2) est supérieur à celui de (v1,v2). Donc il vaudra 2. Vous me suivez ?

[adrien69]

J'avoue que ma rédaction est ultra compacte donc peut paraître absconse à plus d'un égard. Mais je pense que c'est la meilleure façon de prendre cet exercice, à la fois pour souligner la puissance des outils et des notions algébriques, et pour aller le plus vite possible.

[jlb]

Salut Adrien, pas de problème, le truc est qu'on ne connait jamais le niveau pour les questions posées, c'est assez génant, ( début de cours ev, il ne va peut-être pas comprendre le coup du déterminant, non? ) mais à vrai dire, je ne me rappelle pas trop à quel moment c'est vu!) du coup avec un brave système à résoudre, c'est chiant mais ça marche pas mal!!!

[jlb]

u1,u2 liés au départ pour v1 non lié à u1 on a bien det(u1,u2,v1)=0 et v1 n'appartient pas à
vect(u1,u2)?

[adrien69]

Ouep mais si tu le fais avec deux vecteurs libres v1,v2...

[adrien69]

Zut j'ai fait une bourde, t'en as que l'un des deux qui y est. Pas nécessairement les deux. Donc il faudra un truc de plus pour conclure. Par exemple ton truc ou un déterminant mineur (j'aime bien les déterminants), mais ton truc est le plus simple.

[jlb]

Oh, c'est rien ça, j'en fait tellement!!!! et puis, il y aura toujours une bonne âme pour te reprendre ( moi, c'est souvent Deltab !!) on peut se tromper, non? sinon, tu t'appelles Doraki :ptdr:
Sur ce, bonne journée.

[TheZepp]

Merci Adrien et jlb pour vos indications et réponses, c'est gentil. :++: