Résolution d'une équation

[hbenji]

Bonjour,

Ayant des problèmes en math, je viens sur ce forum pour avoir un peu d'aide.

Donc mon problème c'est que quand je vois une équation exemple: 4.cos x - sin x = 4 ou

Acot tan 5pi/11

ben je ne sais pas comment m'y prendre. Est-ce qu'il y aurai une personne qui peut m'aider en me montrant les étapes pour résoudre ce genre d'équation.

Merci d'avance.

[Benji1235]

Je ne sais pas trop mais je pense que tu pourrais utiliser les formules trigonométrique pour le débarrasser du sinus. J'opterais pour la formule d'addition, mais c'est qu'une intuition.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour la première, la technique est la suivante :
asinx + bcosx = c
On pose b/a = tg(phi)
d'où sin(x+phi) = c/a.
RECTIFICATION : c'est sin(x+phi) = c/a cos(phi)

La seconde, je comprends pas trop.

[Sylviel]

Moi je ne comprends pas trop la réponse de Dlzlogic...

pour résoudre une équation du type
a sin(x) + b cos(x) = c
il faut se ramener (par exemple) à un truc de la forme

et reconnaitre une formule trigo. Pour cela on commence par faire


ainsi si et que les signes correspondent on obtient


ce qui peut se résoudre assez facilement (on remarque d'ailleurs qu'il y a une infinité de solution, et on choisit en général celle qui est dans [0,2pi[ ou dans ]-pi,pi] auxquelles on ajoute 2 k pi).

EDIT : comme on me l'a fait remarquer il faut bien sûr que
soit compris entre -1 et 1.

comme cos Phi vaut (par construction) on retrouve la formule corrigée de Dlzlogic. Le mettre avec ce cos phi présente aussi l'avantage de ne pas avoir à se soucier du signe (tan ne donne l'angle que modulo pi et non 2pi).

Quoi qu'il en soit je ne pense pas que la formule toute faite soit attendue, par contre être capable de faire la démarche pour montrer la formule, ou la retrouver, peut l'être.

[leon1789]

Pour la première, la technique est la suivante :
asinx + bcosx = c
On pose b/a = tg(phi)
d'où sin(x+phi) = c/a.

ha...
Chose étrange : l'équation sin(x+phi) = c/a ne possède pas de solution réelle si c>a>0,
alors que l'équation asinx + bcosx = c peut en avoir (en prenant par exemple a=b=1, , et ).

[leon1789]

on remarque d'ailleurs qu'il y a une infinité de solution

il y a une infinité de solutions, sauf s'il n'y en a pas (lorsque c² > a²+b², comme le montre ta résolution)

[Dlzlogic]

Mes références "Bouvart et Ratinet" édition Hachette 1972.
PARDON, TOUTES MES EXCUSES, IL EN MANQUE UN BOUT
On pose b/a = tg(phi)
d'où sin(x+phi) = c/a cos(phi).
La condition de possibilité est c² <= a² + b²

[Black Jack]

a sin(x) + b cos(x) = c
a/V(a²+b²).sin(x) + b/V(a²+b²).cos(x) = c/V(a²+b²)

On pose sin(A) = a/V(a²+b²) et cos(A) = b/V(a²+b²)

et on a alors sin(A).sin(x) + cos(A).cos(x) = c/V(a²+b²)

cos(A+x) = c/V(a²+b²)

A+x = +/- arccos(c/V(a²+b²)) + 2k.Pi

x = - A +/- arccos(c/V(a²+b²)) + 2k.Pi

Et on prend la valeur de A en tenant compte des signes de a et b. (qui imposent les signes de cos(A) et sin(A))

Si a > 0 et b > 0, A est dans le 1er quadrant (A = arcsin(a/V(a²+b²))
Si a > 0 et b < 0, A est dans le 4eme quadrant (A = -arcsin(a/V(a²+b²))
Si a < 0 et b > 0, A est dans le 2eme quadrant (A = Pi + arcsin(a/V(a²+b²))
Si a < 0 et b < 0, A est dans le 3eme quadrant (A = -Pi - arcsin(a/V(a²+b²))


Calculs non vérifiés.

:zen:

[Carpate]

a sin(x) + b cos(x) = c
a/V(a²+b²).sin(x) + b/V(a²+b²).cos(x) = c/V(a²+b²)

On pose sin(A) = a/V(a²+b²) et cos(A) = b/V(a²+b²)

et on a alors sin(A).sin(x) + cos(A).cos(x) = c/V(a²+b²)

cos(A+x) = c/V(a²+b²)

A+x = +/- arccos(c/V(a²+b²)) + 2k.Pi

x = - A +/- arccos(c/V(a²+b²)) + 2k.Pi

Et on prend la valeur de A en tenant compte des signes de a et b. (qui imposent les signes de cos(A) et sin(A))

Si a > 0 et b > 0, A est dans le 1er quadrant (A = arcsin(a/V(a²+b²))
Si a > 0 et b 0, A est dans le 2eme quadrant (A = Pi + arcsin(a/V(a²+b²))
Si a < 0 et b < 0, A est dans le 3eme quadrant (A = -Pi - arcsin(a/V(a²+b²))


Calculs non vérifiés.

:zen:

Autre méthode qui donne parfois des calculs plus longs mais marche à tous les coups,
utiliser la tangente de l'arc moitié :

etc ...