Equation complexe 3eme degré

[Camille05]

Bonjour,

Je bloque sur la résolution de l'équation suivante:
z^3 = -1 + i

Quelqu'un peut il m'aider svp? rien qu'une toute petite piste? :)
Un grand merci par avance!

[Black Jack]

-1+i = V2.(-1/V2 + i.1/V2) = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))

z³ = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))

z = ...


:zen:

[Camille05]

-1+i = V2.(-1/V2 + i.1/V2) = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))

z³ = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))

z = ...


:zen:

Merci pour votre réponse. Alors j'ai surement loupé quelque chose dans mon cours sur les nombres complexes, mais pourquoi V2 ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour,

Je bloque sur la résolution de l'équation suivante:
z^3 = -1 + i

Quelqu'un peut il m'aider svp? rien qu'une toute petite piste?
Un grand merci par avance!

Pour résoudre cette équation, on va étudier séparément le module et l'argument.

Pour ça, on prend sous forme trigonométrique en posant avec ( est le module de ) et ( est l'argument de ).

Ecris alors et sous forme trigonométrique.

Du coup, si et seulement si et ont même module et et ont même argument (modulo )

[Camille05]

Ok je comprend cette méthode. Par contre ce que je ne comprend pas, c'est où est pris en compte le fait que z soit de degré 3 ?
Merci bcp !

[jlq]

Ok je comprend cette méthode. Par contre ce que je ne comprend pas, c'est où est pris en compte le fait que z soit de degré 3 ?
Merci bcp !

C'est la dernière étape du calcul que tu n'as pas encore abordé.

[Black Jack]

Merci pour votre réponse. Alors j'ai surement loupé quelque chose dans mon cours sur les nombres complexes, mais pourquoi V2 ?

|-1 + i| = V(1²+1²) = V2

-1 + i = V2(-1/V2 + i/V2) = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))
*****
z³ = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))

z = ...

:zen:

[Camille05]

Ah oui oui dsl, je suis à coté de la plaque.. Donc c'est bien la même méthode que capitaine nuggets ! :)
Mais il reste toujours la question du "qu'est ce que je fais du degré 3 de z" ?

[Black Jack]

Ah oui oui dsl, je suis à coté de la plaque.. Donc c'est bien la même méthode que capitaine nuggets !
Mais il reste toujours la question du "qu'est ce que je fais du degré 3 de z" ?

Généralité ... à retenir :

z^n = r * e^(i. (theta + 2k.Pi))

|z^n| = r
arg(z^n) = theta + 2k.Pi
*****

et aussi : |z| = (|z^n|)^(1/n)
arg(z) = (1/n).arg(z^n)
*****

Ici, n = 3 et |z^n| = |z³| = V2 et arg(z^n) = arg(z³) = 3Pi/4 + 2k.Pi

Tu peux donc avec ce qui précède calculer |z| et arg(z)

Les 3 solutions pour arg(z) se trouvent en prenant k = 0, 1 et 2

:zen:

[capitaine nuggets]

Coucou

Salut !



Pour résoudre cette équation, on va étudier séparément le module et l'argument.

Pour ça, on prend sous forme trigonométrique en posant avec ( est le module de ) et ( est l'argument de ).

Ecris alors et sous forme trigonométrique.

Du coup, si et seulement si et ont même module et et ont même argument (modulo )

On a posé où et

- Ecrivons alors sous forme trigonométrique en fonction de la forme trigonométrique de :
en posant respectivement et .
- Ecrivons sous forme trigonométrique : .
- Connaissant les forme trigonométrique de et , on a :

[CENTER][/CENTER]

En trouvant alors et , tu trouveras les complexes z solutions de ton équation :++:

[chan79]

[CENTER][/CENTER]

Attention, n'est pas solution

[chan79]

Salut !





Du coup, si et seulement si et ont même module et et ont même argument (modulo )

Salut
C'est bizarre ...

[capitaine nuggets]

Salut
C'est bizarre ...

Ouais, j'ai oublier le signe moins devant le "1" ...

[Camille05]

Bonjour,
Merci à tous pour votre aide, je n'ai malheureusement pas réussi à terminer mon devoir à temps malgré votre aide.
J'ai eu la correction, et c’était sur la bonne voie. Il faut utiliser le théorème d'Alembert.
Merci encore ;)

[Black Jack]

Bonjour,
Merci à tous pour votre aide, je n'ai malheureusement pas réussi à terminer mon devoir à temps malgré votre aide.
J'ai eu la correction, et c’était sur la bonne voie. Il faut utiliser le théorème d'Alembert.
Merci encore

J'ai un peu de mal à comprendre comment tu n'avais pas abouti avec l'aide reçue.

-1+i = V2.(-1/V2 + i.1/V2) = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))

z³ = V2.e^(i.(3Pi/4 + 2k.Pi))



Les 3 solutions se trouvent en attribuant à k les valeurs 0, 1 , 2







Ou si on préfère:







:zen: