Matrice de GLn(R\Q)

[Bilou92]

Bonjour , dans un exercice , on me demande : est-ce vrai que dans Mn(R\Q) si A appartient à GLn(R\Q) alors A^-1 appartient à GLn(R\Q) .
j'ai voulu démontrer que c'est faux en utilisant comme argument que A×A^-1 = Idn et GLn(R\Q) anneau donc contradiction . Est-ce juste ou pas ?

[mrif]

GLn(R\Q) n'est pas un anneau. Tu prends comme contre exemple les 2 matrices de GL1(R\Q): (pi) et (1/pi) leur produit est la matrice (1) qui n'appartient pas à GL1(R\Q)

[wserdx]

En effet le résultat est vrai pour n=1 : si un nombre réel n'est pas rationnel, son inverse aussi.
A partir de n=2, ce n'est plus vrai. Comme contre exemple, je cherche 4 nombres réels non rationnels a,b,c,d tels que par exemple d=ad-bc
soit par exemple a=b=c=, d=
Je te laisse vérifier que a,b,c,d ne sont pas rationnels, et voir ce que vaut l'inverse de la matrice
a b
c d