Algèbre linéaire

par **obelix33** » 12 Mar 2013, 15:20

Bonjours à tous .

Je bloque sur cet exo ...

On note Rn(x) l'ensemble des polynômes de degrés infèrieurs ou égaux à n.
Soit Po(x)=1, et Pk(x)=x(x-1)...(x-k+1) pour k=1,2,...,n.
Montrer que (Po,P1, ... , Pn) forment une base de Rn(x)

merci d'avance

par **Maxmau** » 12 Mar 2013, 15:47

obelix33 a écrit:Bonjours à tous .

Je bloque sur cet exo ...

On note Rn(x) l'ensemble des polynômes de degrés infèrieurs ou égaux à n.
Soit Po(x)=1, et Pk(x)=x(x-1)...(x-k+1) pour k=1,2,...,n.
Montrer que (Po,P1, ... , Pn) forment une base de Rn(x)

merci d'avance

Bj
des polynomes de degrés différents sont linéairement indépendants.

par **chan79** » 12 Mar 2013, 15:54

obelix33 a écrit:Bonjours à tous .

Je bloque sur cet exo ...

On note Rn(x) l'ensemble des polynômes de degrés infèrieurs ou égaux à n.
Soit Po(x)=1, et Pk(x)=x(x-1)...(x-k+1) pour k=1,2,...,n.
Montrer que (Po,P1, ... , Pn) forment une base de Rn(x)

merci d'avance

Salut
Montre que cette famille est liée

par **obelix33** » 13 Mar 2013, 16:26

ca ne m'aide pas trop ...

par **raph107** » 13 Mar 2013, 16:46

obelix33 a écrit:Bonjours à tous .

Je bloque sur cet exo ...

On note Rn(x) l'ensemble des polynômes de degrés infèrieurs ou égaux à n.
Soit Po(x)=1, et Pk(x)=x(x-1)...(x-k+1) pour k=1,2,...,n.
Montrer que (Po,P1, ... , Pn) forment une base de Rn(x)

merci d'avance

Il suffit de montrer que la famille

est libre puisque le nb d'éléments de cette famille est égal à dim de Rn[X].

Cette égalité est vraie pour tout x. En particulier:
- pour x = 0, on obtient

- pour x = 1, on obtient

- pour x = 2, on obtient

................
Donc la famille

est libre

Algèbre linéaire

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