Système : équations cartésiennes, intersections de plans

[aymane]

Bonjour. Voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Dans l'espace affine ;) on donne les deux droites*:

(D) = x=1
x+z-1=0

(;)) = z=-1
x-y=0

Pour tout réel m, soit le point Cm = (m,0,m). Soit (Pm) le plan passant par Cm et (D), puis soit (Qm) le plan passant par Cm et ( ;)). Appelons (Lm) l'intersection de (Pm) et (Qm).

1. Donner les équations cartésiennes de (Lm).
2. A quelle condition, en fonction de m, le point M de coordonnées (x,y,z) appartient-il à l'une des droites de (Lm)*?

1. J'ai répondu à la première question mais je pense m'être complètement trompée.
J'ai tout d'abord cherché un point et un vecteur directeur de (;)):
(;)) = z=-1
x=y
En prenant y comme paramètre, j'ai (;))*: (y,y,-1) C'est à dire une droite de vecteur directeur u(1,1,0) passant par A(0,0,-1).
Le point M(x,y,z) appartient au plan passant par Cm et A(0,0,-1) et de direction u(1,1,0) si et seulement si CmM, CmA, u coplanaires, soit det(CmM,CmA,u)=0.
En calculant ceci, je finis par trouver une équation de (Qm)*: -x+y(1-m)+m=0

J'ai fait de même avec (D) et j'ai fini par trouver une équation de (Pm)*: mx+z(1-m)-m=0.

Ensuite, j'ai trouvé le système*:
(Lm)*: mx + z(1-m) = m
-x + y(1-m) = -m

En ce qui concerne la deuxième question, je ne sais pas comment faire, et je pense que pour la première ce que j'ai fait n'est pas bon. Qu'en pensez-vous*?? Merci beaucoup de votre aide

[Doraki]

Ta méthode est bonne, l'équation de Pm est bonne, mais pas celle de Qm. Le point (0,0,-1) est dans ;) mais ne vérifie pas l'équation que tu donnes, donc tu devrais vérifier si pour ce point là les 3 vecteurs que tu as mis dans ton déterminant sont bien liés. Si oui, tu as une erreur dans on calcul de déterminant. Si non, tu as une erreur dans les vecteurs que tu as mis dans le déterminant.

Tu es sûr de l'intitulé de la question 2 ? Parceque là elle ne veut rien dire. (Lm) c'est une droite. "l'une des droites de (Lm)" ne veut rien dire. "l'une des droites (Lm)" veut dire quelquechose, mais pas à m fixé.
Je pourrais comprendre "A quelle condition sur (x,y,z) est-ce qu'il existe m tel que M'x,y,z) appartient à la droite (Lm) ?"

[aymane]

Ta méthode est bonne, l'équation de Pm est bonne, mais pas celle de Qm. Le point (0,0,-1) est dans mais ne vérifie pas l'équation que tu donnes, donc tu devrais vérifier si pour ce point là les 3 vecteurs que tu as mis dans ton déterminant sont bien liés. Si oui, tu as une erreur dans on calcul de déterminant. Si non, tu as une erreur dans les vecteurs que tu as mis dans le déterminant.

Tu es sûr de l'intitulé de la question 2 ? Parceque là elle ne veut rien dire. (Lm) c'est une droite. "l'une des droites de (Lm)" ne veut rien dire. "l'une des droites (Lm)" veut dire quelquechose, mais pas à m fixé.
Je pourrais comprendre "A quelle condition sur (x,y,z) est-ce qu'il existe m tel que M'x,y,z) appartient à la droite (Lm) ?"

Je vais refaire les calculs pour (Qm) dans ce cas. Merci beaucoup.
J'ai cité exactement l'énoncé... Mais peut être faut il le comprendre tel que vous l'avez dit.

[aymane]

En effet en refaisant le calcul du déterminant je trouve pour l'équation de (Qm) :
x(m-1) -y(m+1) -mz = m

Et pour la seconde question, vu que j'ai cette fois ci
(Lm) : x(m+1) - y(m+1) -mz = m
-x +y(1-m) = -m

Il me suffit de remplacer m dans la première équation par sa valeur dans la deuxième pour se rendre compte que pour m=0 M(x,y,z) appartient à (Lm).

Je vous remercie beaucoup de m'avoir aidé

Cordialement

[Doraki]

toujours pas, le point (1,1,-1) est dans ;) mais ne vérifie pas ton équation.

Ensuite tu es en train de dire que L0 est tout l'espace. Or L0 est une droite (la droite décrite par les points Cm est une droite disjointe des deux autres, et D et ;) ne sont pas coplanaires donc il n'y a pas de cas dégénéré où Lm serait un plan ou pire)

[aymane]

toujours pas, le point (1,1,-1) est dans mais ne vérifie pas ton équation.

Ensuite tu es en train de dire que L0 est tout l'espace. Or L0 est une droite (la droite décrite par les points Cm est une droite disjointe des deux autres, et D et ne sont pas coplanaires donc il n'y a pas de cas dégénéré où Lm serait un plan ou pire)

Je viens de vérifier et selon moi le point (1,1,-1) vérifie l'équation x(m+1) -y(m+1) -mz =m.....
En effet:
1*(m+1) -1(m+1) -m*(-1) = m +1 -m -1 +m = m

Je ne comprend pas du tout ce que vous essayez de m'expliquer dans la seconde partie de votre message...

[Doraki]

Ah tu avais mal recopié la première fois ue tu as écris l'équation.
Donc oui c'est bien la bonne équation.

Donc tu as une droite (Lm) d'équation
x(m+1) - y(m+1) -mz = m
-x +y(1-m) = -m

Qu'est-ce que tu veux dire par "Il me suffit de remplacer m dans la première équation par sa valeur dans la deuxième pour se rendre compte que pour m=0 M(x,y,z) appartient à (Lm)."

Que pour tout point M(x,y,z) de l'espace, M appartient à la droite (L0) ?

[siger]

Bonjour

le même probleme a ete posté par "Rockleader" sous le titre"intersection de plans"

Comme signalé, l'equation du plan Pm est fausse: (D) etant parallele a Oy l'equation du plan ne peut etre fonction de y
sauf erreur l'equation est
m*x + (1-m)*z - m = 0

[aymane]

Ah tu avais mal recopié la première fois ue tu as écris l'équation.
Donc oui c'est bien la bonne équation.

Donc tu as une droite (Lm) d'équation
x(m+1) - y(m+1) -mz = m
-x +y(1-m) = -m

Qu'est-ce que tu veux dire par "Il me suffit de remplacer m dans la première équation par sa valeur dans la deuxième pour se rendre compte que pour m=0 M(x,y,z) appartient à (Lm)."

Que pour tout point M(x,y,z) de l'espace, M appartient à la droite (L0) ?

A partir de la seconde équation, j'ai m=x-y(1-m)
Ensuite j'ai fait x(m+1)-y(m+1)-mz = x-y(1-m).
La résolution de cette équation aboutit à m=0.
Mais je ne sais pas si cela a un sens en effet

[aymane]

A partir de la seconde équation, j'ai m=x-y(1-m)
Ensuite j'ai fait x(m+1)-y(m+1)-mz = x-y(1-m).
La résolution de cette équation aboutit à m=0.
Mais je ne sais pas si cela a un sens en effet

Autant pour moi je fais n'importe quoi pour la seconde question.

On a donc (Lm) : mx +z(1-m) =m
x(m+1) -y(m+1) -mz =m

Du coup je ne sais plus trop comment répondre...

[Doraki]

Tu considères que (x,y,z) sont fixes, et tu cherches si il existe m tel que le système soit vérifié.
Donc tu obtiens un système linéaire de 2 équations à 1 inconnue (m).

En général, la 1ère équation va forcer une valeur de m particulière, et pareil pour la 2ème.

[Rockleader]

Sa ressemble étrangement au devoir que j'ai à faire à quelques noms de variables prêt.


Pour ma part j'avais effectivement trouvé une condition sur m avec l'une des deux équations. Mais je n'ai pas de condition avec la seconde; je n'ai peut être pas su la voir...

[siger]

Un systeme de deux equations a une inconnue n'a generalement pas de solution, sauf si les solutions ne sont pas independantes.
Ici les deux plans sont distincts donc leurs equations sont independantes ......

[aymane]

Tu considères que (x,y,z) sont fixes, et tu cherches si il existe m tel que le système soit vérifié.
Donc tu obtiens un système linéaire de 2 équations à 1 inconnue (m).

En général, la 1ère équation va forcer une valeur de m particulière, et pareil pour la 2ème.

Pour la première équation je trouve m=(-x+y)/(x-y-z-1)
pour la seconde je trouve m=(-z)/(x-z-1)

J'ai donc trouvé deux valeurs de m. Ai je répondu à la question ?

[Doraki]

C'est un début mais la question c'est "pour quels (x,y,z) est-ce qu'il existe une valeur de m telle que (x,y,z) est dans (Lm)" ?

La réponse attendue est donc une condition sur (x,y,z) qui dit si oui ou non il existe une valeur de m telle que (x,y,z) est dans Lm.

Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (1,2,3) est dans (Lm) ?
Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (2,0,2) est dans (Lm) ?
Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (3,1,2) est dans (Lm) ?
Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (1,3,0) est dans (Lm) ?
etc.

[aymane]

C'est un début mais la question c'est "pour quels (x,y,z) est-ce qu'il existe une valeur de m telle que (x,y,z) est dans (Lm)" ?

La réponse attendue est donc une condition sur (x,y,z) qui dit si oui ou non il existe une valeur de m telle que (x,y,z) est dans Lm.

Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (1,2,3) est dans (Lm) ?
Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (2,0,2) est dans (Lm) ?
Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (3,1,2) est dans (Lm) ?
Est-ce qu'il existe une valeur de M telle que (1,3,0) est dans (Lm) ?
etc.

La question n'est pas "pour quels (x,y,z) est ce qu'il existe une valeur de m telle que (x,y,z) est dans (Lm)" mais "a quelle condition, en fonction de m, M(x,y,z) appartient a (Lm)"..

[chan79]

La question n'est pas "pour quels (x,y,z) est ce qu'il existe une valeur de m telle que (x,y,z) est dans (Lm)" mais "a quelle condition, en fonction de m, M(x,y,z) appartient a (Lm)"..

Salut
Je suis plutôt de l'avis de Doraki.
m étant donné, pour avoir la condition pour qu'un point M(x;y;z) appartienne à Lm, il suffit d'écrire les équations de Lm.
Mais étant donné un point M(x,y,z), on peut chercher à savoir à quelle condition (sur x, y et z), il existe un m tel que M se trouve sur Lm.
Par exemple:
si on prend M(1,1,-1), ce point M se trouve sur L1 (m=1)