Système d'équations cartésiennes du sev F+G

[ABMG]

Bonjour,
quelqu'un pourrez t'il m'expliquer comment former le système d'équations cartésiennes du sous espace vectoriel F+G.
(a titre d'exemple:en considérant que l'équation cartésienne de F (sev de R3)est: x+y+z=0 et celle de G: 2x+y-z=0)
Merci d'avance

[mathelot]

dans l'exemple, est une droite vectorielle et F+G est l'espace tout entier.

[ABMG]

dans l'exemple, est une droite vectorielle et F+G est l'espace tout entier.

Oui en effet. Mais est ce que on peut caractériser le système d'équations de F+G comme étant: le systeme x+z+y=2x+y-z=0 ?

[mathelot]

Oui en effet. Mais est ce que on peut caractériser le système d'équations de F+G comme étant: le systeme x+z+y=2x+y-z=0 ?

ça, ça donne un système qui est une équation de
on résout en x et y , de paramètre z (voir théorie de Cramer)
et on trouve l'équation paramétrique d'une droite vectorielle.

x+y=-z
2x+y=z

x=2z
y=-3z
z=z

(x,y,z)=z(2,-3,1) mais ça c'est une équation de la droite vectorielle
pas de F+G.

[ABMG]

ça, ça donne un système qui est une équation de
on résout en x et y , de paramètre z (voir théorie de Cramer)
et on trouve l'équation paramétrique d'une droite vectorielle.

D'accord merci, donc pour caractériser F+G: on le fait donc de cette facon ? x+y+z=0 ou 2x+y-z=0

[mathelot]

dans le cas général, je me demande s'il ne suffit pas de déterminer l'orthogonal
de F+G ?

faudrait concocter un exemple en dimension 5 avec
dimE=5, dimF=2 dimG=2 dim()=1

[ABMG]

dans le cas général, je me demande s'il ne suffit pas de déterminer l'orthogonal
de F+G ?

faudrait concocter un exemple en dimension 5 avec
dimE=5, dimF=2 dimG=2 dim()=1

d'accord je vais essayer alors. Merci de votre aide

[chombier]

Dans le cas général, je pense que le plus simple est de trouver une base de F, une base de G, l'union des bases de F et de G sera alors une famille génératrice de F+G

[Ben314]

Oui en effet. Mais est ce que on peut caractériser le système d'équations de F+G comme étant: le systeme x+z+y=2x+y-z=0 ?

NON, pas du tout : ça c'est les vecteurs qui vérifie les deux équations, donc c'est l'intersection de F et de G.

LE truc à bien comprendre quand on débute l'algèbre linéaire, c'est qu'il y a deux façons simples de définir un s.e.v. de R^n :
- Soit en donnant un système d'équations.
- Soit en donnant une famille génératrice.
Le premier exercice "type" à savoir ABSOLUMENT FAIRE (*), c'est de passer d'un des deux types à l'autre.

Ensuite, il faut comprendre que :
- Pour déterminer l'intersection de deux s.e.v. F et G, l'idéal c'est d'avoir des équations de F et de G vu qu'on obtient bêtement des équations de FnG en prenant celles de F plus celle de G.
- Pour déterminer la somme de deux s.e.v. F et G, l'idéal c'est d'avoir des famille génératrices de F et de G vu qu'on obtient bêtement une famille génératrice de F+G en prenant la réunion de celles de F et de celle de G.

Par contre, déterminer la somme de deux s.e.v. dont on connait des équation, ben c'est la m... : on est plus ou moins obligé de commencer par chercher des familles génératrices des deux s.e.v. => (*)

Idem pour déterminer l'intersection de deux s.e.v. dont on connait des familles génératrices : on est plus ou moins obligé de commencer par chercher des équations des deux s.e.v. => (*)

APRES (et à mon avis, uniquement aprés), tu verra qu'il y a un théorème simple qui permet de déduire des truc concernant F+G en conaissant FnG et vice versa ce qui permet souvent de "simplifier la tâche". mais je reste persuadé qu'au départ, il faut savoir faire ce type d'exo "à la main complet" (i.e. sans aucun théorème mais avec uniquement les définitions)

[Ben314]

Sinon, partant de ça :


Si tu veut immédiatement écrire qui est , ben tu regarde la définition (et tu invente pas des conneries... :doh: ) :



Et rien qu'à regarder la formule, on peut se dire que ça va pas être "trivial" à simplifier.

[mathelot]

comment fait on pour passer d'une famille génératrice d'un s.e.v F
aux équations ?
i) extraire une base de F
ii) l'orthogonaliser par Schmidt
iii) la compléter en une base orthogonale de l'espace E
iv) écrire qu'un certain nombre de produits scalaires sont nuls
en fait trouver G tel que
?

[Ben314]

comment fait on pour passer d'une famille génératrice d'un s.e.v F
aux équations ?
i) extraire une base de F
ii) l'orthogonaliser par Schmidt
iii) la compléter en une base orthogonale de l'espace E
iv) écrire qu'un certain nombre de produits scalaires sont nuls
en fait trouver G tel que
?

Perso, je préconise (dans un premier temps) de savoir le faire "à la main complet", c'est à dire en écrivant que :

Tu regarde l'égalité finale comme un système d'équation en (donc en considérant les coordonnées de X comme des paramètres) et tu cherche à quelle condition (sur les paramètres) le système admet au moins une solution .
Dans la pratique, tu utilise donc bêtement la méthode du pivot de Gauss pour savoir à quelle condition un système (à paramètres) admet au moins une solution et c'est super simple vu que les paramètres sont uniquement dans les "constantes" du système.

Une fois que ça, c'est bien acquis (donc "pur calculs"), on peut commencer à voir que, dans un certain nombre de cas, on peut se dispenser d'une partie des fastidieux calculs, par exemple dans le cas que tu signale où E est muni d'une structure euclidienne et où, dans le cas d'un hyperplans F de E, déterminer une équation de F revient à chercher un vecteur normal de l'hyperplan en question. Si on a affaire à du F "plus petit" que de l'hyperplan, on peut effectivement (et c'est en fait ce que tu fait) tenter de voir F comme une intersection d'hyperplans mais c'est pas forcément plus rapide que la méthode "pur calculs" et ça a le gros inconvénient de ne marcher que dans de l'Euclidien.

On peut aussi fréquemment utiliser le théorème du rang qui permet de savoir d'avance le nombre d'équation dont on a besoin.

Enfin, une fois qu'on a pas mal de bouteille, on peut comprendre que, de donner une famille génératrice de F, ça revient à présenter F comme image directe d'une application linéaire f (celle de dans E qui à associe ) alors que donner des équations de F, ça revient à présenter F comme noyau d'une application linéaire g (celle de E dans qui à tout X de E associe si les équations de F sont pour i de 1 à q).
Le problème du passage d'une forme à l'autre devient celui de la recherche d'une "suite exacte courte", i.e. de f et g tels que Im(f)=Ker(g) avec si possible Ker(f)=0 (i.e. la famille génératrice est en fait une base) et Im(g)= (i.e. les équations données ne sont pas "redondants")

[mathelot]

merci Ben.
un point que je n'ai pas compris. S'il n'y a pas de structure euclidienne
est ce qu'on peut en utiliser une (la canonique), le temps de définir les formes linéaires,
puis l'oublier à l'écriture du résultat final ?

[Ben314]

Oui, bien sûr : dans des exercices "pur calcul", c'est à dire avec des vecteurs, équations, etc... donnés en terme d'éléments de R^n, on peut utiliser les structures qu'on veut (et/ou qu'on connait) sur R^n.

Le seul léger problème, en temps qu'étudiant, ça peut être que le prof. n'apprécie pas que tu ait fait de façon différente de celle qu'il attendait, mais c'est une autre question...