Variations d'une suite

[soso10]

Bonjour, je suis en première ES et je rencontre des difficultés dans la réalisation d'exercices.

Je ne suis pas très douée en maths et je ne sais absolument pas comment m'y prendre, je n'ai pas de cours en rapport avec l'étude de variation. Je n'ai donc aucun exemple sur lequel je peux me référer.. J'espère que quelqu'un pourra m'expliquer comment le réaliser d'autant plus que j'ai d'autres exercices de ce type a faire. Merci d'avance

Voici l'énoncé :

Soit (Vn) la suite définie sur N par son premier terme V0 = -1 et la relation Vn+1 = Vn+2.
Etudier les variations de (Vn) (n+1 et Vn sont écris en petit dans l'énoncé)

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour, je suis en première ES et je rencontre des difficultés dans la réalisation d'exercices.

Je ne suis pas très douée en maths et je ne sais absolument pas comment m'y prendre, je n'ai pas de cours en rapport avec l'étude de variation. Je n'ai donc aucun exemple sur lequel je peux me référer.. J'espère que quelqu'un pourra m'expliquer comment le réaliser d'autant plus que j'ai d'autres exercices de ce type a faire. Merci d'avance

Voici l'énoncé :

Soit (Vn) la suite définie sur N par son premier terme V0 = -1 et la relation Vn+1 = Vn+2.
Etudier les variations de (Vn) (n+1 et Vn sont écris en petit dans l'énoncé)

Salut,

Tu sais que pour tout n plus grand ou égal à 0 (ne pas oublier de le préciser !!), V_{n+1}=V_{n+2}.
Alors tu peux en déduire que pour tout n, la suite (Vn) est constante.
C'est très visuel et immédiat, pas besoin de calcul.

[soso10]

Salut,

Tu sais que pour tout n plus grand ou égal à 0 (ne pas oublier de le préciser !!), V_{n+1}=V_{n+2}.
Alors tu peux en déduire que pour tout n, la suite (Vn) est constante, et de terme général -1.
C'est très visuel et immédiat, pas besoin de calcul.

Tout d'abord merci pour votre réponse. Je n'ai pas tout à fait compris comment vous trouver ce résultat..

[Kikoo <3 Bieber]

Tout d'abord merci pour votre réponse. Je n'ai pas tout à fait compris comment vous trouver ce résultat..

Je viens de corriger mon erreur d'étourderie : On suppose que pour tout n supérieur ou égal à 0, mais nous ne connaissons pas donc ne pouvons conclure quant à l'expression de .
Par contre, il est certain que est constante car une simple récurrence nous dit que les premiers termes (, , , etc.) sont successivement égaux entre eux d'après hypothèse, et que par suite, si pour un certain n supérieur à 0 la propriété est vérifiée, alors elle "sera" héréditaire (se maintiendra) au rang n+1 (au rang suivant, donc).
Nous concluons sur la monotonie de la suite

[soso10]

Je viens de corriger mon erreur d'étourderie : On suppose que pour tout n supérieur ou égal à 0, mais nous ne connaissons pas donc ne pouvons conclure quant à l'expression de .
Par contre, il est certain que est constante car une simple récurrence nous dit que les premiers termes (, , , etc.) sont successivement égaux entre eux d'après hypothèse, et que par suite, si pour un certain n supérieur à 0 la propriété est vérifiée, alors elle "sera" héréditaire (se maintiendra) au rang n+1 (au rang suivant, donc).
Nous concluons sur la monotonie de la suite

Cela est quand même bien compliqué, et il faut dire aussi que je ne suis longue à la compréhension.. Je suis désolée mais je ne vois toujours pas.. N'aurais tu pas une ou des méthodes, ou alors un exemple d'exercice sur lequel je pourrais mieux comprendre?

[Kikoo <3 Bieber]

Un peu de raisonnement logique...

Tu as des dominos rangés devant toi. Supposons que tu en as un nombre infini, et que tu ne peux en voir la fin.
On te dit que le premier domino est blanc. On te dit aussi que pour un certain domino donné, s'il est blanc, alors le prochain est aussi blanc. Que peux-tu conclure sur la couleur de chaque domino ?

[soso10]

Un peu de raisonnement logique...

Tu as des dominos rangés devant toi. Supposons que tu en as un nombre infini, et que tu ne peux en voir la fin.
On te dit que le premier domino est blanc. On te dit aussi que pour un certain domino donné, s'il est blanc, alors le prochain est aussi blanc. Que peux-tu conclure sur la couleur de chaque domino ?

Chaque domino est blanc? :/

[Kikoo <3 Bieber]

Chaque domino est blanc? :/

Oui. Et je dirai même mieux : tous les dominos sont blanc.
Comment as-tu raisonné ?

[Nightmare]

A mon avis il faut lire V(n+1)=V(n)+2 et non V(n+1)=V(n+2).

[Kikoo <3 Bieber]

A mon avis il faut lire V(n+1)=V(n)+2 et non V(n+1)=V(n+2).

Ah oui, cela peut en effet poser problème. Je laisse la correction à la sagacité du demandeur.
Merci Nightmare.

[soso10]

Ah oui, cela peut en effet poser problème. Je laisse la correction à la sagacité du demandeur.
Merci Nightmare.

Oui Nightmare c'est comme ça qu'il faut le lire en effet.
Excusez moi de ne pas l'avoir mieux signaler auparavant.

[Black Jack]

V(n+1) = V(n) + 2
V(n+1) - V(n) = 2
V(n+1) - V(n) > 0
La suite Vn est croissante.
***********
V(n+1) = V(n) + 2

Vn est donc une suite arithmétique de raison 2 et comme V(0) = -1, on a

V(n) = -1 + 2n

lim(n --> +oo) V(n) = + oo
****

:zen:

[soso10]

V(n+1) = V(n) + 2
V(n+1) - V(n) = 2
V(n+1) - V(n) > 0
La suite Vn est croissante.
***********
V(n+1) = V(n) + 2

Vn est donc une suite arithmétique de raison 2 et comme V(0) = -1, on a

V(n) = -1 + 2n

lim(n --> +oo) V(n) = + oo
****

:zen:

Houra, je viens (enfin) de comprendre! Merci beaucoup Black Jack
J'ai donc mis ceci en application sur un autre exercice du même type pour voir si vraiment je serai capable de le refaire seule.

Voici l'énoncé :

Soit (Wn) la suite définie sur N par son premier terme W(o) = 5 et la relation W(n+1) = W(n)-3
Déterminer le sens de variation de (Wn)

Donc voilà ce que j'ai fait :

W(n+1) = W(n)-3
W(n+1) - W(n) = -3
W(n+1) - W(n) < 0 _ La suite Wn est décroissante.

Comme W(0) = 5, on a W(n) = 5 -3n
W(n) = -oo

Ceci est juste?

[soso10]

Oui. Et je dirai même mieux : tous les dominos sont blanc.
Comment as-tu raisonné ?

J'ai résonné .. logiquement ^^

[Kikoo <3 Bieber]

Houra, je viens (enfin) de comprendre! Merci beaucoup Black Jack
J'ai donc mis ceci en application sur un autre exercice du même type pour voir si vraiment je serai capable de le refaire seule.

Voici l'énoncé :

Soit (Wn) la suite définie sur N par son premier terme W(o) = 5 et la relation W(n+1) = W(n)-3
Déterminer le sens de variation de (Wn)

Donc voilà ce que j'ai fait :

W(n+1) = W(n)-3
W(n+1) - W(n) = -3
W(n+1) - W(n) < 0 _ La suite Wn est décroissante.

Comme W(0) = 5, on a W(n) = 5 -3n
W(n) = -oo

Ceci est juste?

Jusqu'à ce que tu dises que (Wn) (il faut mettre les parenthèses car tu parles de la suite et non du terme général) est décroissante, c'est juste.

Par contre, je ne comprends pas ce que tu as mis plus bas, cela n'a pas de sens.

[soso10]

Jusqu'à ce que tu dises que (Wn) (il faut mettre les parenthèses car tu parles de la suite et non du terme général) est décroissante, c'est juste.

Par contre, je ne comprends pas ce que tu as mis plus bas, cela n'a pas de sens.

D'accord merci
J'ai essayer de refaire comme Black Jack a fait..
Il faut donc que je m'arrête en disant que la suite (Wn) est décroissante?

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai résonné .. logiquement ^^

Tu penses sans doute qu'il s'agit de pure intuition "logique", alors que ce que tu as fait est tout à fait raisonné.

Le raisonnement par récurrence (oui, c'est son nom) consiste à émettre deux hypothèses pour prouver une propriété pour un groupe d'objets indicés (qui ont un numéro entier associé) :
-Une que l'on appelle l'initialisation, et qui prouve cette propriété pour les premiers objets.
-Une que l'on appelle l'hérédité, qui montre que si la propriété est vérifiée pour un certain objet du lot, alors elle est vérifiée pour le prochain objet du lot.

Il s'agit alors de faire "couler" le raisonnement, afin qu'il s'applique à tous les objets. C'est pour cela que j'ai pris l'exemple des dominos : si le premier tombe et si tu sais que le fait qu'un domino tombe entraine "le prochain domino tombe aussi", alors tu as la certitude que tous les dominos tomberont.
Il s'agit d'un raisonnement par cascade, finalement : Il te faut un "déclencheur", et un "fil" qui permet de propager la propriété.
Et c'est ce que tu verras l'année prochaine, dans le cadre d'une étude approfondie sur les suites récurrentes.

Voilà pour le Hors programme, mais tu reconnaitras qu'il est facile à comprendre et à assimiler. C'est très intéressant de pouvoir maîtriser ce raisonnement si dans le futur tu dois montrer des propriétés pas très aisées "pour tout n à partir d'un certain rang"...

[Kikoo <3 Bieber]

D'accord merci
J'ai essayer de refaire comme Black Jack a fait..
Il faut donc que je m'arrête en disant que la suite (Wn) est décroissante?

Si tu veux dire qu'elle tend vers moins l'infini en l'infini, alors il te faudra adopter la même typographie que black jack, au risque de dire n'importe quoi sinon. Mais dire qu'une suite arithmétique de raison négative stricte tend vers moins l'infini est un peu redondant... En effet, quelle que soit la valeur du terme initial, une suite arithmétique de raison négative décroit toujours régulièrement.

[soso10]

Tu penses sans doute qu'il s'agit de pure intuition "logique", alors que ce que tu as fait est tout à fait raisonné.

La raisonnement par récurrence (oui, c'est son nom) consiste à émettre deux hypothèses pour prouver une propriété pour un groupe d'objets indicés (qui ont un numéro entier associé) :
-Une que l'on appelle l'initialisation, et qui prouve cette propriété pour les premiers objets.
-Une que l'on appelle l'hérédité, qui montre que si la propriété est vérifiée pour un certain objet du lot, alors elle est vérifiée pour le prochain objet du lot.

Il s'agit alors de faire "couler" le raisonnement, afin qu'il s'applique à tous les objets. C'est pour cela que j'ai pris l'exemple des dominos : si le premier tombe et si tu sais que le fait qu'un domino tombe entraine "le prochain domino tombe aussi", alors tu as la certitude que tous les dominos tomberont.
Il s'agit d'un raisonnement par cascade, finalement : Il te faut un "déclencheur", et un "fil" qui permet de propager la propriété.
Et c'est ce que tu verras l'année prochaine, dans le cadre d'une étude approfondie sur les suites récurrentes.

Voilà pour le Hors programme, mais tu reconnaitras qu'il est facile à comprendre et à assimiler. C'est très intéressant de pouvoir maîtriser ce raisonnement si dans le futur tu dois montrer des propriétés pas très aisées "pour tout n à partir d'un certain rang"...

Merci beaucoup pour cette explication détaillée, je ne savais pas que cela pouvais porter un nom.
En effet cela n'est pas tellement compliqué.

[soso10]

Si tu veux dire qu'elle tend vers moins l'infini en l'infini, alors il te faudra adopter la même typographie que black jack, au risque de dire n'importe quoi sinon. Mais dire qu'une suite arithmétique de raison négative stricte tend vers moins l'infini est un peu redondant... En effet, quelle que soit la valeur du terme initial, une suite arithmétique de raison négative décroit toujours régulièrement.

Oui, d'accord je vois.
Et par exemple si la suite est sous forme d'une fraction, cela ne change rien à la méthode ?