Simplification fonction

[fransoa]

Bonjour,

est-il possible d'obtenir une formule pour x à partir de :

(1 - exp(-x/t)) /x = A

Merci pour votre aide
francois

[Cheche]

Tu peux trouver t en fonction de x, mais pour l'inverse, ça risque d'être compliqué.
Peux-tu remettre la question dans son contexte pour qu'on puisse t'aider un peu mieux ?

[fransoa]

merci pour le coup de main, effectivement j'ai posté un peu vite par dépit hier soir...

alors il s'agit des équations de mouvement d'un projectile soumis à la résistance de l'air.

x(t) = x0 + tau * v0 * cos(teta) * (1-exp(-t / tau)
z(t) = z0 + (tau * v0 * sin(teta) + tau*tau*gravite) * (1-exp(-t / tau) - t*tau*g

avec tau = mass / lambda
t le temps
v0 la vitesse de lancement
teta l'angle initial d'elevation

jusque là ces équations fonctionnent bien et les trajectoires du projectile sont cohérentes.

J'aimerai calculer le temps qu'il faut pour que le projectile touche le sol, ainsi que la distance parcourue au moment ou il touche le sol.

je parcours le net pour trouver une equation mais je ne trouve pas et j'ai trop de lacune en maths pour le calculer moi même....

[Kikoo <3 Bieber]

Hello,

Je me permets de recopier en Latex pour qu'on y voie mieux



Mais dans ce cas-là, est-ce que tu es sûr que z est homogène à une longueur ? Le me gène...

[fransoa]

homogène à une longueur ? en langage vulgarisé ca donnerait quoi ? :)

[Kikoo <3 Bieber]

z(t) désigne l'abscisse (fonction du temps) liée à un axe vertical (Oz).
Physiquement, il s'agit d'une distance, qui a donc la dimension d'une longueur. Un peu d'analyse dimensionnelle montre que ton résultat n'est pas homogène à une longueur, qu'il n'a pas la dimension d'une longueur, en d'autres termes ! :)

[Black Jack]

[quote="Kikoo = T^2 * L.T^-2 = L, soit donc les dimensions d'une longueur.

:zen:

[Kikoo <3 Bieber]

Sans avoir réfléchi au problème ..., il n'y a pas de problème d'homogénéité.

à les dimensions d'un temps
et "gravité" a les dimensions de g, soit donc LT^-2

--> = T^2 * L.T^-2 = L, soit donc les dimensions d'une longueur.

:zen:

Non non, je parle de cette partie :

D'ailleurs je ne sais pas à quoi correspond bien ce temps caractéristique ...

[fransoa]

Ces 2 équations sont correctes, je les utilise pour afficher en 3d un projectile et ca fonctionne bien.
Maintenant mon problème est de trouver par le calcul l'endroit ou le projectile va tomber, et le temps que cela prendra.

p.s : dans l'enonce gravité = g

[Kikoo <3 Bieber]

Ah oui d'accord, il ne s'agissait pas de mais de . Comme quoi, erreur de transcription... :marteau:

[Black Jack]

Non non, je parle de cette partie :

D'ailleurs je ne sais pas à quoi correspond bien ce temps caractéristique ...

Ben oui, c'est bien de cette partie aussi dont je parlais.

Je ne me prononce pas sur l'exactitude des relations (que je n'ai pas vérifiées) ... mais il n'y a pas de problème d'homogénéité comme je l'ai expliqué.

:zen:

[hammana]

Ben oui, c'est bien de cette partie aussi dont je parlais.

Je ne me prononce pas sur l'exactitude des relations (que je n'ai pas vérifiées) ... mais il n'y a pas de problème d'homogénéité comme je l'ai expliqué.

:zen:

Je crois qu'il est impossible de trouver la valeur de t pour laquelle z=0 sous forme littérale. On peut simplement faire des applications numériques.

[Black Jack]

Je crois qu'il est impossible de trouver la valeur de t pour laquelle z=0 sous forme littérale. On peut simplement faire des applications numériques.

Oui, cela c'est évident.
Ce n'était pas à cela que je répondais, mais uniquement à la non homogénéité supposée des équations données.

De toutes manières, les équations me semblent suspectes.

Dès que la vitesse dépasse quelque cm/s (c'est à dire pratiquement tout le temps), les frottements dans l'air sont proportionnels au carré de la vitesse (frottement aérodynamique) et donc :

Avec V la composante de vitesse suivant l'axe vertical (dirigé vers le bas), on a donc :

mg - kv² = m.dv/dt (avec V(0) = -Vo.sin(theta))

Equation qui résolue donne : t = argth[(racine(k/(mg)) * v)]/racine(kg/m) + C

en t = 0 ---> v = -Vo.sin(theta) ---> C = ...

Et puis on peut facilement tirer v = ... (forme d'une th (tangente hyperbolique))

et puis de là, avec v = dz/dt, on peut trouver l'expression de z(t) ...

qui devrait ressembler à : z(t) = zo + A. [ln(cosh(Bt+C)) - ln(cosh(C))]

Les expressions littérales de A, B et C se trouvent dans les dévellopements nécessaires à la résolution des équations différentielles (je ne les ai pas faits).

Lorsque z(t) = 0 (à l'instant t1 de l'impact au sol), on a :

zo + A. [ln(cosh(Bt1+C)) - ln(cosh(C)] = 0

relation de laquelle on peut tirer facilement t1 = ...
*****

Donc, je répond NON à la question initialement posée, mais OUI s'il s'agit de calculer la valeur de la durée de la chute avec des équations plus proches de la réalité.

Toutes erreurs de raisonnement et/ou calculs incluses.

:zen:

[Black Jack]

Correction de mon message précédent :

La force de frottement change de signe avec le sens du mouvement et il faut donc traiter le problème en 2 parties distinctes.

a) pour la partie montante de la trajectoire, il faut partir de l'équation :

mg + kv² = m.dv/dt (avec v la composante verticale de la vitesse (axe des déplacements vertical vers le bas))
Conditions initiales :
V(0) = Vo.sin(theta) (mais Vo < 0 à cause de l'orientation choisie du repère vertical)
z(0) = 0 (si le tir est au niveau du sol)

b) pour la partie descendante de la trajectoire, il faut partir de l'équation :

mg - kv² = m.dv/dt (avec v la composante verticale de la vitesse (axe des déplacements vertical vers le bas))
Conditions initiales :
V(0) = 0
z(0) = altitude trouvée dans le point a lorsque v = 0

Le point a devrait aboutir à : t + C = arctan(racine((k/g).v) / rac(kg)
Soit donc v = rac(g/k) * tan(rac(k.g).(t + C)) avec C à déterminer à partir de v(0) = Vo.sin(alpha) (Vo < 0)
On peut alors chercher z(t) par v = dz/dt ... (valable tant que v(t) <= 0)) et l'altitude max (ici max de négatif) est atteinte pour v(t) = 0.

Le point b devrait aboutir à : t = argth(racine((k/g).v) / rac(kg)
Soit donc à v = rac(g/k) * th(rac(k.g).t)
On peut alors chercher z(t) par v = dz/dt ... avec z(0) = altitude max trouvée dans le point a.

:zen:

[fransoa]

Merci pour vos réponses, j'ai pu trouver ces equations sur le site suivant : http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/balistique/theorie_balistique.htm

Dans la partie 4.4 qui calcule la portée du tir avec des frottements
Que signifie résoudre numériquement u = 1 - e-( au + b) ?
a et b sont des valeurs que l'on peut calculer, u est inconnue...
Comment faire ?

merci pour votre aide