Simplification factorielle

[jnnfr65]

Bonjour , quelqu'un peut il me montrer la simplification détaillée de (n-2)!/(n-5)! ? je galère... merci d'avance :hein: :mur:

[Robic]

Bonsoir ! Essaie d'abord avec des cas particuliers pour voir comment le truc marche.

Prenons n=8. Donc (n-2)!=6x5x4x3x2x1 et (n-5)!=3x2x1. Du coup :


Avec n=10 : (n-2)!=8x7x6x5x4x3x2x1 et (n-5)!=5x4x3x2x1. Du coup :


Tiens, à chaque fois il y a tout le dénominateur qui se simplifie. Le cas général (pour n>=5), c'est :
(n-2)!=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6).....3.2.1,
(n-5)!=(n-5)(n-6).....3.2.1,
et on voit qu'en les divisant, tout le dénominateur va se simplifier et qu'il ne restera plus que (n-2)(n-3)(n-4).

En fait, on peut être plus astucieux en remarquant que (n-2)!=(n-2)(n-3)(n-4)x[(n-5)!]. Là encore, commence avec des cas particuliers :
8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 8x7x6x(5x4x3x2x1) = 8x7x6x(5!). Donc (8!)/(5!)=8x7x6.