Trigo

[imalefette]

Bonjour je suis la maman d une élève en prepa ecs1 qui est un peu débordée et prete a craquer je suis moi même prof de math au collège et je voudrais l aider mais je suis un peu dépassée . Je vous explique mon pb

On pose ck= somme cos px pour p allant de 1 à k

Montrer par récurrence que ck =(cos ((k+1)x/2).sin((kx)/2))/ sin(x/2) pour x different 2hpi h

Puis en déduire que (ck) est bornée

Merci mille fois pour votre aide si vous pouvez m aider

j'ai su le faire à partir de la partie réelle de la somme des e(ikx) mais pas par récurrence

[cuati]

Bonjour,
voici un peu d'aide pour calculer des sommes de ce type... on utilise la formule de Moivre :

la somme à l'intérieur des parenthèses étant la somme de termes d'une série géométrique !
Si vous avez besoin d'autres rappels ou de plus d'aide il suffit de demander...

[imalefette]

merci beaucoup[B] j 'y suis arrivée comme cela en revisant un peu (!!!!) mais pas par récurrence ? et je n'arrive pas à montere proprement qu'elle est bornée

[cuati]

merci beaucoup[B] j 'y suis arrivée comme cela en revisant un peu (!!!!) mais pas par récurrence ? et je n'arrive pas à montere proprement qu'elle est bornée

Oui, excusez moi je n'avais pas vu que vous vouliez une récurrence...
Pour le côté "bornée" il faut bien comprendre que l'on vous demande de montrer qu'elle est bornée en k. Or, si , le dénominateur ne dépend pas de k (il est constant) et le numérateur est évidemment borné (car les fonctions cos et sin le sont) donc...

Pour la récurrence, je regarde...

[imalefette]

c est très sympa merci car je n'y arrive vraiment pas

[Pianoo]

Une fois que tu as démontré l'égalité tu en déduis :

[Pianoo]

Bonjour,

Pour la récurrence :

Supposons la propriété vraie au rang k et montrons là au rang k+1.



par hypothèse de récurrence on a :



Ensuite je raisonne en partant du résultat (faudrait l'écrire à l'envers pour être rigoureux ...)

On veut montrer que

On écrit :



En multipliant tout par on obtient :



Et là en utilisant
et

on simplifie l'égalité en :



Ce qui fait 0=0 ^^
l'égalité est donc vraie, la propriété est héréditaire et donc elle est vraie pour tout k.

(Bon sûr bien pour écrire ça proprement il faudrait partir du membre de gauche et transformer avec les formules de trigo pour obtenir le membre de droite, mais j'ai fait au plus court).

Ensuite on en déduit :

[cuati]

Excusez moi imalefette mais j'avais encore cours et la récréation était terminée...
j'ai trouvé à peu de choses près la même chose que Pianoo... c'est vrai que c'est un peu moche comme calcul et rébarbatif...
Bon courage pour la suite

[imalefette]

c est vraiment super gentil, merci pour nous :)

[imalefette]

je ne sais pas si je peux oser mais je bloque aussi sur cet exo, en fait je n'arrive même pas à le démarrer le but est de montrer que l'on peut exprimer cos(nx) en fonction d'un polynome en cosx ie cos(nx)=Pn(cosx)
remarque si P(X)=X^2+X+1 alors P(cosx)=....

déterminer P0(X) et P1(X)
merci bcp

[imalefette]

en fait je pense qu'il faut passer par l'arccos?

[cuati]

je ne sais pas si je peux oser mais je bloque aussi sur cet exo, en fait je n'arrive même pas à le démarrer le but est de montrer que l'on peut exprimer cos(nx) en fonction d'un polynome en cosx ie cos(nx)=Pn(cosx)
remarque si P(X)=X^2+X+1 alors P(cosx)=....

déterminer P0(X) et P1(X)
merci bcp

Là encore on peut utiliser la formule de Moivre avec celle de Newton :
Il suffit alors de garder la partie réelle de cette dernière somme.