Produit de convolution

[Nicolas59]

bonjour

avec le produit de convolution cité dans mon cours : int[f(t)g(t-x)]dt , j'ai

(Dirac(x_o)*f )(x) = f(x_0) si x=x_0

Je ne comprends absolument pas. J'ai cru lire que dirac(0) était l’élément neutre du produit de convolution mais je ne vois pas pourquoi.

Je pense que mon prof s'est trompé et que f*g(x) = int f(t)g(x-t)dt
puis en remplaçant f par dirac(0), je tombe sur g(x).( int[delta(0)(t)]dt ) (cette dernière intégrale étant sur le singleton {0}, elle est censé valoir 0 puisque l'intégrale d'une fonction continue sur un point, ça vaut 0 )

[Luc]

bonjour

avec le produit de convolution cité dans mon cours : int[f(t)g(t-x)]dt , j'ai

(Dirac(x_o)*f )(x) = f(x_0) si x=x_0

Je ne comprends absolument pas. J'ai cru lire que dirac(0) était l’élément neutre du produit de convolution mais je ne vois pas pourquoi.

Je pense que mon prof s'est trompé et que f*g(x) = int f(t)g(x-t)dt
puis en remplaçant f par dirac(0), je tombe sur g(x).( int[delta(0)(t)]dt ) (cette dernière intégrale étant sur le singleton {0}, elle est censé valoir 0 puisque l'intégrale d'une fonction continue sur un point, ça vaut 0 )

Bonjour, effectivement, c'est x-t (la somme de t et x-t fait x).
Le dirac est effectivement l'élément neutre du produit de convolution.
En fait, ce n'est pas une vraie fonction. Mathématiquement, il existe un cadre dans lequel on peut rendre tout cela rigoureux : celui des distributions.

[Nicolas59]

merci de répondre (en partie) à ma question.
C'est précisément dirac au point 0 qui est l'élément neutre?

Pour mon calcul:


(dirac(0)*g)(x)
= int [dirac(0)(t)g(x-t)]dt sur R
= int [dirac(0)(t)g(x)dt sur {0}
=g(x). int[dirac(0)(t)]dt sur {0}
Il faudrait tomber g(x) mais la dernière intégrale vaut 0 ,non?

[Luc]

merci de répondre (en partie) à ma question.
C'est précisément dirac au point 0 qui est l'élément neutre?

Pour mon calcul:


(dirac(0)*g)(x)
= int [dirac(0)(t)g(x-t)]dt sur R
= int [dirac(0)(t)g(x)dt sur {0}
=g(x). int[dirac(0)(t)]dt sur {0}
Il faudrait tomber g(x) mais la dernière intégrale vaut 0 ,non?

Oui c'est le dirac en 0. Le dirac en a correspond à une translation de a.

[Nicolas59]

et pour mon calcul? (désolé d'être insistant)

[Luc]

et pour mon calcul? (désolé d'être insistant)

Le dirac n'est pas une vraie fonction, donc tu ne peux pas justifier que int [dirac(0)(t)g(x-t)]dt =g(x) rigoureusement pour l'instant.
Accepte ce résultat plutôt comme un postulat.

[Doraki]

Ou comme la définition de "dirac(0)".

[Luc]

Ou comme la définition de "dirac(0)".

oui c'est ce que je voulais dire en fait :we:

[Nicolas59]

Dans la définition de wikipédia, c'est une fonction dont l'intégrale vaut 1 sur R, puis je utiliser ce fait là pour dire que int[dirac(0)(t)]dt sur {0} vaut 1 et ainsi tomber sur g(x)?