Applications bijectives

[wawa986]

[FONT=Arial]Bonjour à tous,

J'essaye en vain de faire un exercice sur les applications:
L'énoncé:
"Les applications suivantes sont-elles bijectives de R² dans R². Si oui, déterminer l'application réciproque.
a) F x,y) |-> (2x -y, x- 2y); G x,y) |-> (-2x +y, 6x-3y)"

Je voulais partir sur l'étude des variations de F (et G), mais je ne sais pas, après avoir trouvé des dérivées selon x puis selon y, comment dresser un tableau de variations avec 2 variables.

Merci d'avance de votre aide.[/FONT]

[Nightmare]

Salut,

tu es sûr de pouvoir parler des variations de F et G? Ca voudrait dire quoi d'avoir F croissante par exemple?

[wawa986]

Salut,

tu es sûr de pouvoir parler des variations de F et G? Ca voudrait dire quoi d'avoir F croissante par exemple?

Avec 2 variables, ça me paraît assez compliqué, mais si alors, je ne peux pas utiliser les variations de F, comment prouver que l'application est "monotone" ou pas ? Il faudrait que je m'intéresse plus à la définition de la bijection ? injection + surjection ?

[Nightmare]

Si tu veux parler de monotonie, il te faut définir un ordre sur R². C'est pas impossible à faire, mais bien trop compliqué surtout qu'on ne sait pas si avec notre ordre construit on obtiendra effectivement la monotonie.

Ce qui est beaucoup plus simple par contre, c'est bien de revenir à la définition générale d'une bijection comme une fonction à la fois injective et surjective.

[wawa986]

Si tu veux parler de monotonie, il te faut définir un ordre sur R². C'est pas impossible à faire, mais bien trop compliqué surtout qu'on ne sait pas si avec notre ordre construit on obtiendra effectivement la monotonie.

Ce qui est beaucoup plus simple par contre, c'est bien de revenir à la définition générale d'une bijection comme une fonction à la fois injective et surjective.

Suite à ton conseil, j'ai donc essayé de voir si les applications étaient injectives, j'ai trouvé :
1) F injective, si pour tout (x,y) appartenant à R², F(x) = F(y) => x=y
2x-y=x-2y
...
x= -y
Donc F n'est pas injective, idem pour G.

[chan79]

Suite à ton conseil, j'ai donc essayé de voir si les applications étaient injectives, j'ai trouvé :
1) F injective, si pour tout (x,y) appartenant à R², F(x) = F(y) => x=y
2x-y=x-2y
...
x= -y
Donc F n'est pas injective, idem pour G.

Salut
Si tu supposes que F(x,y)=F(x',y'), tu démontres facilement que (x,y)=(x',y')
F est injective

[wawa986]

Salut
Si tu supposes que F(x,y)=F(x',y'), tu démontres facilement que (x,y)=(x',y')
F est injective

Merci de votre aide à tous les 2 !

[wawa986]

Cette fois, j'ai du mal à prouver que F est surjective. Si j'applique la définition de la surjectivité, je devrais avoir : pour tout (x',y') appartenant à R², il existe (x,y) appartenant à R², tels que F(x,y)= (x',y').
Mais je vois pas comment démarrer...