Géométrie plane

[aurelag78]

bonjour à tous !
J'ai un exo assez chaud sous la main que je n'arrive pas à résoudre, même en ayant demandé de l'aide à plus fort que moi, donc je commence un peu à désespérer ... ^^' Donc voici l'énoncé :
Soit EFG un triangle inscrit dans un cercle de rayon r.
Soit G1 et G2 les points d'intersection du cercle avec la médiatrice du segment [EF].
Démontrer par l'absurde que, si un triangle EFG est d'aire maximale, il est isocèle en G.

J'ai déjà vu que [EF] ne changeait pas et que donc il fallait essayer de se baser sur la position de G sur le cercle et que c'est en G1 et G2 qu'il est d'aire maximale (suivant leur position par rapport à [EF]). Mais je reste bloqué là ... --'

[Carpate]

bonjour à tous !
J'ai un exo assez chaud sous la main que je n'arrive pas à résoudre, même en ayant demandé de l'aide à plus fort que moi, donc je commence un peu à désespérer ... ^^' Donc voici l'énoncé :
Soit EFG un triangle inscrit dans un cercle de rayon r.
Soit G1 et G2 les points d'intersection du cercle avec la médiatrice du segment [EF].
Démontrer par l'absurde que, si un triangle EFG est d'aire maximale, il est isocèle en G.

J'ai déjà vu que [EF] ne changeait pas et que donc il fallait essayer de se baser sur la position de G sur le cercle et que c'est en G1 et G2 qu'il est d'aire maximale (suivant leur position par rapport à [EF]). Mais je reste bloqué là ... --'

Est-ce là l'intitulé exact de l'énoncé ?
Les points E et F sont-ils fixes ?

[bauzau]

bonjour à tous !
J'ai déjà vu que [EF] ne changeait pas et que donc il fallait essayer de se baser sur la position de G sur le cercle et que c'est en G1 et G2 qu'il est d'aire maximale (suivant leur position par rapport à [EF]).

Et bien tu as donc fini... on voit en 6ieme que la médiatrice de [EF] est l'ensemble des points équidistants de E et de F, donc EG1=FG1 et le triangle EFG1 est isocèle en G1, ainsi que EFG2 en G2.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Que veut dire pour vous "démontrer par l'absurde" ?

[geegee]

Bonjour

aire=base * hauteur
aire max=base max * hauteur maximum
base EF = rayon d un cercle
pour que la hauteur soit maximum il foufrait que G soit sur la mediatrice EF
donc que le triangle soit isocele

[Carpate]

Bonjour

aire=base * hauteur
aire max=base max * hauteur maximum
base EF = rayon d un cercle
pour que la hauteur soit maximum il foufrait que G soit sur la mediatrice EF
donc que le triangle soit isocele

L'énoncé que nous a retranscrit aurelag78 est vraiment mal fichu et aurelag78 est aux abonnés absents pour le corriger éventuellement ...
Un exercice plus intéressant pourrait être :
De tous les triangles inscrits dans un cercle de rayon donné : R quel est celui d'aire maximale ?
A vos réponses ...

[Dlzlogic]

L'énoncé que nous a retranscrit aurelag78 est vraiment mal fichu et aurelag78 est aux abonnés absents pour le corriger éventuellement ...
Un exercice plus intéressant pourrait être :
De tous les triangles inscrits dans un cercle de rayon donné : R quel est celui d'aire maximale ?
A vos réponses ...

Bonjour,
Je suis pas tout à fait de cet avis, je pense au contraire que le mot important de cet exercice est "démontrer par l'absurde". Manifestement la réponse de geegee n'est pas celle attendue par le professeur.

[Lostounet]

De tous les triangles inscrits dans un cercle de rayon donné : R quel est celui d'aire maximale ?
A vos réponses ...

Hum,

Tous ces triangles ABC ont une aire A de:


Si je pouvais prouver que/si le produit abc est maximal lorsque a = b = c, ce serait pas mal :p

[bauzau]

aire max=base max * hauteur maximum

J'espere que tu ne crois pas ce que tu écris??

[Carpate]

Bonjour,
Je suis pas tout à fait de cet avis, je pense au contraire que le mot important de cet exercice est "démontrer par l'absurde". Manifestement la réponse de geegee n'est pas celle attendue par le professeur.

Bonjour Dlzlogic,
J'ai écrit que je trouvais l'énoncé mal fichu non parce qu'il demande une démonstration par l'absurde mais parce que les données de départ ne sont pas précisées. Il faut comprendre :
"Soit EFG un triangle inscrit dans un cercle de rayon r, donc les sommets E et F sont fixes.
Soit G1 et G2 les points d'intersection du cercle avec la médiatrice du segment [EF].
Démontrer par l'absurde que, si un triangle EFG est d'aire maximale, il est isocèle en G."
La démonstration par la géométrie est tellement élémentaires (l'aire est extrémale en et ) qu'on se demande pourquoi le professeur demande une démonstration par l'absurde. En effet ce type de démonstration est réservé aux cas difficiles où une démonstration directe est difficile.
En outre, selon que G est situé dans le même demi-cercle, d'axe parallèle à EF, que EF le triangle EFG sera bien isocèle mais ne sera pas ou sera d'aire maximale.

[chan79]

L'énoncé que nous a retranscrit aurelag78 est vraiment mal fichu et aurelag78 est aux abonnés absents pour le corriger éventuellement ...
Un exercice plus intéressant pourrait être :
De tous les triangles inscrits dans un cercle de rayon donné : R quel est celui d'aire maximale ?
A vos réponses ...

Slt
On pourrait peut-être poser le problème ainsi:
Soit un cercle de rayon r et deux points distincts E et F sur ce cercle.
Où faut-il placer un point G sur ce cercle pour que l'aire de EFG soit maximale ?
Indication éventuelle : Tracer la médiatrice de [EF].

[Dlzlogic]

Bonjour Carpate,
Bien sûr, ce que tu dis est vrai, c'est la raison pour laquelle j'ai essayé d'être mesuré dans mes propos.
Je me suis donc posé la question "pourquoi un énoncé si compliqué pour un problème si simple ?" La seule réponse que j'ai trouvé est que le professeur attend de ses élèves une démonstration bien formulée en utilisant la méthode par l'absurde. En d'autres termes, il ne s'agit pas d'un exercice de géométrie mais d'un exercice de logique et d'expression écrite, d'où ma première réponse.
Mais ce n'est que mon avis, et comme je suis le seul à l'avoir compris comme ça, je dois avoir tort.

[chan79]

L'énoncé que nous a retranscrit aurelag78 est vraiment mal fichu et aurelag78 est aux abonnés absents pour le corriger éventuellement ...
Un exercice plus intéressant pourrait être :
De tous les triangles inscrits dans un cercle de rayon donné : R quel est celui d'aire maximale ?
A vos réponses ...

Slt
A partir d'une corde [AB], le triangle d'aire maximale ABC inscrit dans le cercle est isocèle de base [AB]. (penser à aire = base*hauteur/2)
Donc les triangles d'aire maximale sont isocèles.
[img][IMG]http://img685.imageshack.us/img685/6409/34431782.png[/img][/IMG]
On exprime AC, puis AB, puis l'aire du triangle, en fonction de l'angle et du rayon du cercle.

En étudiant l'expression obtenue pour l'aire, on montre qu'elle est maxi pour

[aurelag78]

Bonjour !
Il est vrai que je n'étais pas venu depuis un petit bout de temps, ne pensant pas qu'il y aurait autant de message o_O
Pour Carpate, oui c'est bien l'énoncé exact retranscrit dans ses moindres détails, car je sais que demander un problème en le reformulant à notre manière n'est pas la meilleure idée ...
Les points E et F ne sont pas fixes, car il faut pouvoir le démontrer pour tous E, F et G. (la question d'après étant de démontrer qu'un triangle équilatéral est d'aire maximale).
Dlzlogic, je pense la même chose que toi, sauf qu'il y a un petit problème ... Je n'ai jamais fait de démonstration par l'absurde --' je connais le principe mais j'ai presque l'impression que le but est de nous faire démontrer de façon compliquée un truc simple ... --'
Sinon je veux bien dire que EFG est d'aire maximale lorsque G est sur la médiatrice de [EF], mais ma question est surtout comment on démontre ça ? Je ne veux pas juste balancer les réponses sur ma copie ...

[Carpate]

Bonjour !
Il est vrai que je n'étais pas venu depuis un petit bout de temps, ne pensant pas qu'il y aurait autant de message o_O
Pour Carpate, oui c'est bien l'énoncé exact retranscrit dans ses moindres détails, car je sais que demander un problème en le reformulant à notre manière n'est pas la meilleure idée ...
Les points E et F ne sont pas fixes, car il faut pouvoir le démontrer pour tous E, F et G. (la question d'après étant de démontrer qu'un triangle équilatéral est d'aire maximale).
Dlzlogic, je pense la même chose que toi, sauf qu'il y a un petit problème ... Je n'ai jamais fait de démonstration par l'absurde --' je connais le principe mais j'ai presque l'impression que le but est de nous faire démontrer de façon compliquée un truc simple ... --'
Sinon je veux bien dire que EFG est d'aire maximale lorsque G est sur la médiatrice de [EF], mais ma question est surtout comment on démontre ça ? Je ne veux pas juste balancer les réponses sur ma copie ...

Bonjour aurelag78,
Et mes excuses pour t'avoir injustement soupçonné d'avoir mal retranscrit l'énoncé !
J'avais bien perçu que le but de cet exercice est de montrer qu'un triangle inscrit dans un cercle de rayon donné a une aire maximale lorsqu'il est équilatéral.
La démarche est la suivante :
1) on montre que pour EF donné (donc points E et F provisoirement fixes) l'aire est maximum quand EFG est isocèle en G.
2) On répète le raisonnement pour FG fixes et E variable : nouveau maximum pour EFG isocèle en E
3) EG fixes et F variable : nouveau maximum pour EFG isocèle en F.
On peut donc en conclure que le triangle EFG inscrit dans un cercle de rayon donné R est maximum (le maximum des 3 maxima précédents) s'il est isocèle en E, en F et en G donc s'il est équilatéral.

Pour ce qui est de la démonstration par l'absurde demandée je tente un essai :
Supposons l'aire maximale et EFG non isocèle en G.
G n'étant plus sur la médiatrice de EF, la hauteur issue de G du triangle EFG n'est pas maximale ainsi que l'aire d'où contradiction.
(la hauteur de EFG est maximale quand G est sur la médiatrice de EF et du bon côté de EF)

Ca ne paraît pas un cas idéal d'emploi de la démonstration par l'absurde.
Un exemple scolaire classique (en quelle classe es-tu ?) est la démonstration par l'absurde de l'irrationalité de . La démonstration par un pur calcul serait sans doute beaucoup plus complexe ...

Pour la résolution proprement calculatoire, j'aboutis (sauf erreur de ma part) à :

où R est le rayon du cercle circonscrit et , étant l'angle EGF.
La dérivée de est du signe de elle ne s'annule que pour soit (équation bicarrée en qui impose )
Elle est positive en deça de et négative au-delà ce qui correspond à un maximum de l'aire pour EFG équilatéral.

[chan79]

Bonjour aurelag78,


Pour ce qui est de la démonstration par l'absurde demandée je tente un essai :
Supposons l'aire maximale et EFG non isocèle en G.
G n'étant plus sur la médiatrice de EF, la hauteur issue de G du triangle EFG n'est pas maximale ainsi que l'aire d'où contradiction.
(la hauteur de EFG est maximale quand G est sur la médiatrice de EF et du bon côté de EF)

Ca ne paraît pas un cas idéal d'emploi de la démonstration par l'absurde.

Slt
D'accord avec ta méthode.
Si EFG d'aire maximale n'était pas équilatéral, deux de ses côtés ne seraient pas de même longueur.
Supposons que ce soit GE et GF.
EFG ne serait pas isocèle en G. Il existerait alors un triangle EFG1 , isocèle en G d'aire supérieure à celle de EFG. Contradiction.
EFG est donc bien équilatéral.

[Dlzlogic]

Bonjour,
La question parle d'isocèle, équilatéral, c'est pour la suivante.

[chan79]

Bonjour,
La question parle d'isocèle, équilatéral, c'est pour la suivante.

Salut Dlzlogic
Tu as raison. Comme le texte initial est flou, j'ai montré ( par l'absurde) que les triangles d'aire maximale inscrits dans un cercle donné sont équilatéraux. C'est la même chose que ce qu'a fait Carpate.
Bonne journée

[aurelag78]

Citation:
Posté par Carpate
Pour la résolution proprement calculatoire, j'aboutis (sauf erreur de ma part) à :
Aire(EFG) = 4R^2\frac{t}{(1+t^2)^2}
où R est le rayon du cercle circonscrit et t = tg\frac{\alpha}{2}, \alpha étant l'angle EGF.
La dérivée de \frac{t}{(1+t^2)^2} est du signe de -3t^4-2t^2+1 elle ne s'annule que pour t^2 = 1/3 soit alpha = \frac{\pi}{3} (équation bicarrée en u = t^2 qui impose u \geq0)
Elle est positive en deça de \alpha =\frac{\pi}{3} et négative au-delà ce qui correspond à un maximum de l'aire pour EFG équilatéral.

Slt,
Je rentre la en TS .... et je crois pas avoir déjà vu une formule type : Aire(EFG) = 4R^2\frac{t}{(1+t^2)^2} ... Je veux bien que vous m'orientez sur un cours, histoire que je puisse comprendre ^^ mais sinon merci beaucoup ;)

[Carpate]

Citation:
Posté par Carpate
Pour la résolution proprement calculatoire, j'aboutis (sauf erreur de ma part) à :
Aire(EFG) = 4R^2\frac{t}{(1+t^2)^2}
où R est le rayon du cercle circonscrit et t = tg\frac{\alpha}{2}, \alpha étant l'angle EGF.
La dérivée de \frac{t}{(1+t^2)^2} est du signe de -3t^4-2t^2+1 elle ne s'annule que pour t^2 = 1/3 soit alpha = \frac{\pi}{3} (équation bicarrée en u = t^2 qui impose u \geq0)
Elle est positive en deça de \alpha =\frac{\pi}{3} et négative au-delà ce qui correspond à un maximum de l'aire pour EFG équilatéral.

Slt,
Je rentre la en TS .... et je crois pas avoir déjà vu une formule type : Aire(EFG) = 4R^2\frac{t}{(1+t^2)^2} ... Je veux bien que vous m'orientez sur un cours, histoire que je puisse comprendre ^^ mais sinon merci beaucoup

Rien que du bien classique : j'utilise les relations trigo. entre les éléments d'un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon R :
Appliqué au triangle EFG, d'angle ça donne :
I milieu de EF :

On passe à l'arc moitié à l'aide de la formule (bien connue ?) :
En posant pour alléger l'écriture :