Polynômes de Tchebychev

[Jean-Sebas]

Salut, voilà : je ne comprends rien à cet exo. J'ai juste réussi la première question. Merci de m'éclairer ! :mur:

Rappel préliminaire :

Soit avec la suite de fonctions polynomiales définie par :



On rappelle que f est une fonction polynomiale si :
tels que :.

1) Calculer et .
2) (Question facultative) Montrer que, pour tout , est une fonction polynomiale et déterminer son terme de plus haut degré.
3) Montrer que : si est pair, est une fonction paire et si est impair, est une fonction impaire. (Cela peut se traduire par : .)
4) Montrer que : .
5) Pour , résoudre l'équation . En déduire que a au moins racines, réelles, distinctes, que l'on donnera.

[ampholyte]

Salut, voilà : je ne comprends rien à cet exo. J'ai juste réussi la première question. Merci de m'éclairer ! :mur:

Rappel préliminaire :

Soit avec la suite de fonctions polynomiales définie par :

une petite erreur de parenthèse, je suppose qu'on a plutôt :


2) Personnellement j'utiliserais la récurrence pour montrer ce résultat (tu supposes que Pn est une fonction polynomiale, tu vérifies le résultat pour Pn(2) et tu vérifies que c'est vrai pour .

3) Avec une récurrence cela devrait passer sans trop de problème.

4) Je dirais encore une récurrence en utilisant cette fois le "rappel" =)

5) Résoudre l'équation cos(nO) = 0 revient à résoudre cos(x) = 0 ==> tu n'auras juste qu'à poser par la suite x = nO et trouver la réponse à ta question (utilisation des modulos lorsque tu donneras ta réponse)

[Jean-Sebas]

une petite erreur de parenthèse, je suppose qu'on a plutôt :


2) Personnellement j'utiliserais la récurrence pour montrer ce résultat (tu supposes que Pn est une fonction polynomiale, tu vérifies le résultat pour Pn(2) et tu vérifies que c'est vrai pour .

3) Avec une récurrence cela devrait passer sans trop de problème.

4) Je dirais encore une récurrence en utilisant cette fois le "rappel" =)

5) Résoudre l'équation cos(nO) = 0 revient à résoudre cos(x) = 0 ==> tu n'auras juste qu'à poser par la suite x = nO et trouver la réponse à ta question (utilisation des modulos lorsque tu donneras ta réponse)

Non ça n'est pas une erreur, enfin peut-être, mais dans l'énoncé que j'ai eu, c'était tel. :hum:
Oui j'avais pensé à une récurrence forte, mais je sais pas du tout comment m'y prendre (-_-) Désolé je suis largué en mathématiques

[ampholyte]

Non ça n'est pas une erreur, enfin peut-être, mais dans l'énoncé que j'ai eu, c'était tel. :hum:
Oui j'avais pensé à une récurrence forte, mais je sais pas du tout comment m'y prendre (-_-) Désolé je suis largué en mathématiques

Comment procède-t-on pour une récurrence ?

Cela se décompose en 4 étapes :
1) Poser la bonne hypothèse
2) L'initialisation
3) La généralisation (je me souviens plus du terme exacte pour celui-là)
4) La conclusion

D'après moi, la première étape est souvent la plus difficile car si tu ne poses pas la bonne hypothèse, tu ne tomberas pas sur la réponse.
Rien ne vaut l'exemple (on va répondre à la question 2):

Démontrons par récurrence que pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers, Pn est une fonction polynomiale.
1) Initialisation :
Supposons que pour tout n appartenant à n Pn soit une fonction polynomiale, c'est à dire que


2) L'initialisation :
Vérifions que l'hypothèse est vérifiée pour n = 0 (car tu sais que P0 et P1 sont vrai)

P2(x) est donc une fonction polynomiale de degrée 2.

3) Généralisation :
Supposons que Pn(x) et Pn+1(x) soient deux fonctions polynomiales, calculons Pn+2(x):
Ici il faut que tu utilises la fonction d'un polynôme.
On a donc



Donc :


Tu peux rajouter une étape pour dire que Pn+2 a la forme d'un polynome

La somme de deux fonctions polynomiales est une fonction polynomiales donc la fonction Pn+2(x) est une fonction polynomiale.

4) Conclusion :
On a prouvé que P_2(x) et Pn+2(x) était deux fonction polynomiales, alors par récurrence Pn(x) est une fonction polynomiale pour tout n appartenant aux entiers.

Voilà comment se passe une récurrence (en gros).