Probabilités avec répétitions

[Paul06]

Bonjour,
je suis confronté à un problème que l'on pourrait résumer de la manière suivante:

Un joueur joue à la roulette à 15 reprises d'affilé. A chaque tour, il joue avec 4 roulettes différentes, équivalentes à des gains différents.
La première roulette comporte 100 cases et s'il tombe sur la bonne case, il remporte 200 points
La seconde roulette comporte 50 cases et s'il tombe sur la bonne case, il remporte 100 points
La troisième roulette comporte 10 cases et s'il tombe sur la bonne case, il remporte 50 points
La dernière roulette n'a qu'une case et ne lui rapporte qu'un point.

A chaque tour, il joue d'abord sur la roulette à 100 cases et s'il perd, passe à celle de 50 cases puis celle de 10 s'il a encore perdu. S'il a perdu sur ces trois roulettes, alors il obtient un point par la dernière roulette.

Il s'agit donc de la même opération, répétée 15 fois différentes.

Je souhaiterais savoir comment représenter mathématiquement ce problème pour déterminer le nombre moyen de points gagnés par tour en jouant à 15 reprises d'affilés.

Merci beaucoup!

[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est un exercice ou il s'agit d'un problème réel ?

[Skullkid]

Bonjour, tout dépend de ce que tu entends par "déterminer le nombre moyen de points gagnés par tour en jouant 15 fois d'affilée". Si tu cherches juste un nombre, alors il te suffit de calculer l'espérance de la variable aléatoire qui donne le gain à chaque tour. À ce moment-là le fait que tu joues 15 fois d'affilée ne change rien à l'affaire, puisque le gain calculé correspond au gain moyen que tu aurais si tu jouais une infinité de fois.

Sinon, tu peux rechercher une information plus précise, par exemple la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne la moyenne des 15 gains sur 15 tours successifs. À ce moment-là tu connaîtras la probabilité d'obtenir tel gain moyen sur 15 tours. C'est pénible à faire à la main si tu veux absolument connaître la loi exacte mais un petit programme te sortira le résultat rapidement. Sinon tu peux te reposer sur le théorème central limite qui dit que la loi du gain moyen sur n tours successifs ressemble de plus en plus à une loi normale de mêmes espérance et écart type que la loi du gain sur un tour quand n grandit, et espérer que la loi normale soit une bonne approximation pour n = 15.

Dans tous les cas, la première chose à faire c'est de déterminer la loi du gain sur 1 tour. Comme tu as posté dans le forum supérieur j'ai supposé que tu avais déjà quelques connaissances en théorie des probas donc n'hésite pas à demander des précisions.

[Paul06]

Bonjour,
C'est un exercice ou il s'agit d'un problème réel ?

Bonjour,
il s'agit d'un problème réel mais qui n'a rien à voir avec l'argent je vous rassure!
Mon problème ne concerne pas des gains et un jeu mais il correspond totalement à la façon dont je l'ai exposé.

Merci

[Skullkid]

Précision à mon post précédent : j'ai fait les calculs et n = 15 est trop petit dans ce cas pour que la loi normale fournisse une bonne approximation. Donc si tu veux connaître toutes les probabilités de gain moyen sur 15 tour (ou même seulement le gain moyen sur 15 tours le plus probable, qui n'est pas égal à l'espérance du gain), tu ne peux pas compter sur la loi normale et il faut faire les calculs.

Les résultats sont encore sur mon ordi donc je peux te les montrer si tu n'as pas envie d'écrire les programmes de ton côté.

[Dlzlogic]

Bonjour Skulllkid,
Je ne vois pas ce que vient faire la loi normale dans de cas précis.
Il me semble qu'il s'agit d'un simple calcul de probabilité.
La définition des probabilité est le rapport de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.
Je vais t'aider, la moyenne cherchée est 146.

[Skullkid]

Oui tu ne vois jamais grand-chose en matières de proba... Comme je l'ai déjà dit, le théorème central limite dit que la loi du gain moyen par tour sur n tours tend vers une certaine loi normale quand n tend vers l'infini. On pourrait donc être tenté de dire que cette loi normale est une approximation suffisamment bonne du problème pour n = 15, mais il se trouve ici que ce n'est pas le cas, c'est ce que je voulais préciser.

Ton 146 ça correspond à un arrondi de l'espérance du gain total sur 15 tours (dont la valeur exacte est 145,5627) et pas à l'espérance du gain moyen par tour sur 15 tours qui était demandée. Mais l'objet de mes posts était notamment de signaler qu'on pourrait vouloir d'autres informations, comme par exemple le gain (total, disons) qui a la plus grande probabilité de sortir si on joue 15 fois d'affilée. Et ce gain total le plus probable n'est pas vraiment proche de 146 puisqu'il vaut 64.

Edit : je te rappelle à tout hasard qu'on t'a interdit d'intervenir sur les topics qui parlent de probas.

[wserdx]

Bonsoir,
De la façon dont j'ai compris le problème, je trouve une solution simple.
Chaque tour a 4 issues possibles:
gagner 200 points avec une probabilité
gagner 100 points avec une probabilité
gagner 50 points avec une probabilité
gagner 1 points avec une probabilité
A vue de nez, je dirais




L'espérance de gain d'un tour est

Les tours sont indépendants entre eux donc la moyenne des points gagnés sur 15 tours est égale à l'espérance de gain sur un tour.
Y aurait-il une erreur dans mon raisonnement ?

[Skullkid]

Bonsoir, le raisonnement est bon et le calcul des probas aussi, c'est juste ton résultat pour l'espérance qui ne va pas, tu dois tomber sur 9,7042.

[nodjim]

D'accord avec Skullkid.
Essayez donc de trouver la moyenne sur 50 000 essais, vous tomberez sur un résultat entier.

[wserdx]

Oui, désolé j'ai refait l'application numérique et je trouve bien
485209/50000 = 9.70418

[Dlzlogic]

Bonjour,
@Skullkid

Ton 146 ça correspond à un arrondi de l'espérance du gain total sur 15 tours (dont la valeur exacte est 145,5627) et pas à l'espérance du gain moyen par tour sur 15 tours qui était demandée. Mais l'objet de mes posts était notamment de signaler qu'on pourrait vouloir d'autres informations, comme par exemple le gain (total, disons) qui a la plus grande probabilité de sortir si on joue 15 fois d'affilée. Et ce gain total le plus probable n'est pas vraiment proche de 146 puisqu'il vaut 64.

Edit : je te rappelle à tout hasard qu'on t'a interdit d'intervenir sur les topics qui parlent de probas.

Je sais bien qu'à cause de mon incompétence on m'a interdit d'intervenir sur ce sujet, mais on ne m'a pas interdit de poser des questions. Par ailleurs, je ne savais pas que tu avais la charge de faire respecter les décidions de la modération.
Donc je repose ma question,
Le problème posé consiste à "représenter mathématiquement ce problème pour déterminer le nombre moyen de points gagnés par tour en jouant à 15 reprises d'affilés." Que vient faire la loi normale ?
La réponse cherchée n'est donc pas 146, mais 64 Pourquoi ?

[fatal_error]

allons allons, cessons de nous fourvoyer

Je ne vois pas ce que vient faire la loi normale dans de cas précis.
Il me semble qu'il s'agit d'un simple calcul de probabilité.
La définition des probabilité est le rapport de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.
Je vais t'aider, la moyenne cherchée est 146.

Par ailleurs, je ne savais pas que tu avais la charge de faire respecter les décidions de la modération.

1 - Si la modération t'a demandé de cesser d'intervernir c'est (en parti) à la suite de plaintes.
Que cherches-tu? un ban? (c'est une réthorique, ne te sens pas obligé de répondre, tu éviteras de polluer la discussion plus qu'elle ne l'est déjà :dodo: )

Les modérateurs t'on interdit le droit d'intervenir sur un topic de proba.
POINT.
Si tu as des questions, tu les poses à part.
Ca me semblait relativement clair.