Probabilité_loi_normale_probleme avec un petit exercice.

[Nico.V]

Bonjour, à tous!

Je suis en faculté de psychologie, je suis en train de réviser mes statistiques pour me préparer au Master. Mais voila, je ne comprends pas tout.. ici, pour le problème donné, je ne comprends pas la réponse donnée par mon ancien professeur:

Pour une population de candidats à une section d’apprentissage d’une école, la distribution des notes dans un test suit approximativement une loi Normale de moyenne 32 et d’écart type 8.

1. Sur 80 candidats, Combien devraient obtenir une note comprise entre 25 et 39 ?

Réponse:

b. (1.5pts) P(25<X<39) = P((25-32)/8<Z<(39-32)/8) = P(-0,875<Z<0,875) = F(0,875) – F(0,875) = 2xF(0,875) – 1 =0,6156

Pourquoi et comment passe t'il de : F(0,875) – F(0,875) à 2xF(0,875) - 1 ?

Merci de votre aide,
cordialement

[XENSECP]

Ce serait pas plutôt : F(0,875) – F(-0,875). Et ensuite bah la fonction de distribution F est particulière non ? :)

[hammana]

Bonjour, à tous!

Je suis en faculté de psychologie, je suis en train de réviser mes statistiques pour me préparer au Master. Mais voila, je ne comprends pas tout.. ici, pour le problème donné, je ne comprends pas la réponse donnée par mon ancien professeur:

Pour une population de candidats à une section d’apprentissage d’une école, la distribution des notes dans un test suit approximativement une loi Normale de moyenne 32 et d’écart type 8.

1. Sur 80 candidats, Combien devraient obtenir une note comprise entre 25 et 39 ?

Réponse:

b. (1.5pts) P(25<X<39) = P((25-32)/8<Z<(39-32)/8) = P(-0,875<Z<0,875) = F(0,875) – F(0,875) = 2xF(0,875) – 1 =0,6156

Pourquoi et comment passe t'il de : F(0,875) – F(0,875) à 2xF(0,875) - 1 ?

Merci de votre aide,
cordialement

Bonjour

Oubliez cette réponse qui complique des choses simples.
Je calcule le nombre de candidats dont la note est supérieure à 25
ecart p.r. à la moyenne 32-25=7
écart réduit quand on prend l'écart type 8 comme unité: 7/8=0.875
Dans la table adéquate (je suppose que vous en avez une) je trouve que l'écart 0.875 correspond à une aire de 0.31, qui corespond à 80x0.31=24.8 candidats que j'arrondis à 25.
Cela signifie qu'il y a 25 candidats dont la note est comprise entre 25 et 32. Si la distribution suit une loi normale cela impique qu'elle est symétrique p.r. à la moyenne, il y a 40 candidats dont la note est supérieure à 32, et 40 dont la note est inférieure. il y a donc 40-25=15 candidats dont la note est inférieure à 25. On vous fixe une note supérieure de 39. elle a le même écart 7, par raison de symétrie il y a 25 candidats dont la note est comprise entre 32 et 39, donc 50 dont la note est comprise entre 25 et 39.

Pour vous assurer que vous maîtrisez ce calcul , cherchez le nombrre de candidats dont la note est supérieure à 42.
Rappelez si qque chose ne vous paraît pas clair.

[hammana]

Bonjour

Oubliez cette réponse qui complique des choses simples.
Je calcule le nombre de candidats dont la note est supérieure à 25
ecart p.r. à la moyenne 32-25=7
écart réduit quand on prend l'écart type 8 comme unité: 7/8=0.875
Dans la table adéquate (je suppose que vous en avez une) je trouve que l'écart 0.875 correspond à une aire de 0.31, qui corespond à 80x0.31=24.8 candidats que j'arrondis à 25.
Cela signifie qu'il y a 25 candidats dont la note est comprise entre 25 et 32. Si la distribution suit une loi normale cela impique qu'elle est symétrique p.r. à la moyenne, il y a 40 candidats dont la note est supérieure à 32, et 40 dont la note est inférieure. il y a donc 40-25=15 candidats dont la note est inférieure à 25. On vous fixe une note supérieure de 39. elle a le même écart 7, par raison de symétrie il y a 25 candidats dont la note est comprise entre 32 et 39, donc 50 dont la note est comprise entre 25 et 39.

Pour vous assurer que vous maîtrisez ce calcul , cherchez le nombrre de candidats dont la note est supérieure à 42.
Rappelez si qque chose ne vous paraît pas clair.

Voici l'explication de votre réponse

Las table que j'utilise donne l'aire comprise entre l'axe de symétrie et l'écart,colorée en jaune, soit :
F(0.875)=0.31
Celle utilisée dans la réponse donne l'aire située à gauche dde l'écart soit :
F(0.875)=0.5-0.31=0.19 (L'aire totale sous la courbe en cloche égale 1)
2x0.31=1-2*0.19=0.61
Remarquez que dans la réponse il faut prendre 1-2xF(0.875)


[img]http://i.imgur.com/1bXiE.jpg[[/img]

[Nico.V]

Bonjour,
Merci de votre aide, qui est aussi précise que précieuse. je n'ai pas eu le temps de répondre plutôt, Internet était en panne, veuillez m'en excuser.

j'ai de nouveau quelques soucis:

Je ne comprends pas quel table vous utilisez, "0875 =0,31". Dans ma table de répartition de la loi normal réduite, on trouve: "0,875 (plutôt 0,87) = 0,8078)
avec ceci on peut donc obtenir : 2*0,8078 -1 = 0,6156 ==>donc ok
Ma table sert à calculer des pourcentages n'est ce pas?
Comment se nomme celle que vous utilisez?
existe-t-il une table pour calculer l'Aire, et une table pour les pourcentages?

On a multiplié 0,875 par 2, car la table est symétrique, mais ce que je ne comprends pas maintenant, c'est le (-1)
Je ne le comprends parce que parmi les principales propriétés de la table, (loi normale centrée réduite) ce cas de figure n'est pas présenté. On cherche ce qui est supérieur à 25. donc la lecture devrait être directe sur la table et ne pas passé par (-1) Mais là, on commence par lire directement (0,875) puis à la fin ou soustrait à 1. (Même si je sais l'ensemble de l'aire est égale à 1)

Si je fonctionne bêtement (c'est ce que je fais) j'utiliserai cette formule :
0,8078*2=1,6156 ce qui donnerais un résultat faux, parce qu'il est supérieur à 1 (donc à 100) mais au moins je serais en accord avec le raisonnement.


Merci encore
cordialement

[hammana]

Bonjour,
Merci de votre aide, qui est aussi précise que précieuse. je n'ai pas eu le temps de répondre plutôt, Internet était en panne, veuillez m'en excuser.

j'ai de nouveau quelques soucis:

Je ne comprends pas quel table vous utilisez, "0875 =0,31". Dans ma table de répartition de la loi normal réduite, on trouve: "0,875 (plutôt 0,87) = 0,8078)
avec ceci on peut donc obtenir : 2*0,8078 -1 = 0,6156 ==>donc ok
Ma table sert à calculer des pourcentages n'est ce pas?
Comment se nomme celle que vous utilisez?
existe-t-il une table pour calculer l'Aire, et une table pour les pourcentages?

On a multiplié 0,875 par 2, car la table est symétrique, mais ce que je ne comprends pas maintenant, c'est le (-1)
Je ne le comprends parce que parmi les principales propriétés de la table, (loi normale centrée réduite) ce cas de figure n'est pas présenté. On cherche ce qui est supérieur à 25. donc la lecture devrait être directe sur la table et ne pas passé par (-1) Mais là, on commence par lire directement (0,875) puis à la fin ou soustrait à 1. (Même si je sais l'ensemble de l'aire est égale à 1)

Si je fonctionne bêtement (c'est ce que je fais) j'utiliserai cette formule :
0,8078*2=1,6156 ce qui donnerais un résultat faux, parce qu'il est supérieur à 1 (donc à 100) mais au moins je serais en accord avec le raisonnement.


Merci encore
cordialement

D'abord quelques précisions:

il n'ya pas une table pour les aires, et une pour les pourcentages. Pour faire une table qui s'applique à tous les cas on a fait une table unique correspondant à un écart type = 1. L'échelle verticale de la courbe en cloche est telle que l'aire totale sous la courbe est égale à 1 et représente une probabilité de 100%. La probabilité pour que la variable soit comprise entre t1 et t2 est représentée par l'aire BACEF qu'on calcule d'après la table. On multiplie la valeur donnée par la table par 100 pour convertir l'aire en pourcentage.

Apparemment il n'ya pas de satandardisation des tables. Pour diminuer leur dimension, et compte tenu de la symétrie de la courbe, on se limite à la moitié gauche ou droite de la courbe.

J'ai deux tables qui supposent qu'on est à gauche de CD, comme t1. l'une donne l'aire à gauche de AB l'autre l'aire ACDB. la somme des valeurs est évidemment 0.5.

Je vois que votre table suppose qu'on est à droite de CD et donne l'aire qui est à gauche de EF. Pour une même valeur de t votre table donne 0.5 de plus que la mienne. Si vous voulez calculer la probabilité comprise entre t1 et t2 il vous faut connaîter l'aire à gauche de t1. Elle n'est pas dans la table puisque t1 est à gauche de CD . Considérez alors le symétrique de t1 p.r. à CD, l'aire à gauche de AB serait 1-f(t1), et la probabilité cherchée serait f(t2)- (1-f(t1))= f(t2)+f(t1)-1.
Dans votre cas t1=t2, d'où la réponse 2f(t2)-1, voilà d'où vient le -1.

J'espère que c'est clair, et que je n'ai pas fait d'erreur, sinon rappelez.

Bonne lecture!