Fourier

[Anonyme]

bonjour,

il y a un truc qui me perturbe:

Pour deriver une serie entiere, il faut arriver à prouver qu'on peut la deriver
terme à terme, mais qu'en est il alors des series de Fourier?

Car si j'ai un truc du genre S(x)=Sum(c_k*exp(ikx),k=-inf..+inf)
comment justifier l'expression de S'(x)=Sum(c_k*i*k*exp(ikx),k=-inf..+inf) ?

merci

[sebi]

pour justifier cela , on pose fk(x)=c_k*exp(),il faut que la série de fk et la série de la dérivée de fk converge normalement (application des familles sommable) :we:

[Chimomo]

Tu remarqueras que si f est C1 alors tu peux intégrer par partie l'expression des coefficients de Fourrier de f et obtenir ceux de f' (qui redonne la série obtenue en dérivant).

[quinto]

On n'a pas besoin de toutes ces hypothèses.
Si une série de Fourier existe et converge uniformément vers sa somme, elle est dérivable, et la dérivée est la somme des dérivées terme à terme.
C'est comme pour les séries entières, on n'a pas besoin d'hypothèse.
La preuve en est que ce que l'on somme dans une série de Fourier (ie des exponentielles) sont des fonctions dérivables au sens complexe sur un domaine de C, et la limite d'une suite de fonctions dérivables sur un domaine de C est encore une fonction dérivable sur un domaine de C.

[Chimomo]

Il faut bien des hypothèses : convergence simple de la série et convergence uniforme de la série des dérivée dans le cas réel, convergence uniforme de la série dans le cas complexe. Cepndant on n'a pas ici affaire à des fonctions de variable complexe (t -> exp(-ikt) a une variable réelle qui se dérive normalement).

Aprés, tout dépend de la fonction f. Il se peut qu'il n'y ait même pas convergence simple de la série de Fourrier, alors spour dériver dans ce cas je te souhaite bien du courage. Cepdant f C1 par morceau et continue est une condition suffisante pour pouvoir dériver terme à terme la série.

[quinto]

J'ai bien mentionné que la convergence uniforme suffisait.
Sinon effectivement je me suis planté, on n'a pas de fonction holomorphe et ca change tout.
A+