Pi est inférieur à 2*racine(3)

[newman]

Bon voilà je dois démontrer que la somme des inverses des carrés est inférieure à 2.

En faisant une comparaison série-intégrale j'y suis parvenu

Cependant,il est connu que la somme est Pi au carré divisé par 6(c.f les séries de Fourier et inégalité de Parseval)

J'aimerai donc démontrer que Pi est inférieur à 2*racine(3) pour avoir l'inégalité souhaitée.

Merci

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

[Dinozzo13]

salut !

Peut-être qu'en te servant du fait que

[newman]

euh barbu23 Pi est irrationnel donc cela ne risque pas d'être une égalité...

Cependant je ne connais pas théoriquement la relation entre 22/7 et 2*racine(3)...donc je suis bloqué malgré votre aide...

[barbu23]

Si on suit l'indication de Dinozzo13, on a :

non ? :hein:

[Dinozzo13]

Montrer que

[newman]

Montrer que

j'ai du mal à démontrer que Pi est inférieur à 22/7 ..y'a t-il une sorte d'astuce?

(Ensuite le reste est facile une fois l'inégalité prouvée merci^^)

[MyLifeIsMathematic]

j'ai du mal à démontrer que Pi est inférieur à 22/7 ..y'a t-il une sorte d'astuce?

(Ensuite le reste est facile une fois l'inégalité prouvée merci^^)

tan(2racine(3))=0,06..> 0
tan(Pi)=0

on en deduit que pi < 2racine(3) car la fonction arctan est strictement croissante.

a confirmer quand meme vu que dire que tan(2racine(3)) reste aussi à demontrer ...

[Elerinna]

J'aimerai donc démontrer que Pi est inférieur à 2*racine(3) pour avoir l'inégalité souhaitée.

M'enfin, c'est élémentaire mon cher Watson ! Considère un hexagone de cercle inscrit de rayon . Son aire est supérieure à celle du disque. Or et d'où

[newman]

C'est joli en effet^^..je vais essayer de chercher comment démontrer que la surface d'un hexagone régulier dont le rayon du cercle inscrit est Ri est égale à 2*racine(3) *(Ri)²

[Elerinna]

C'est joli en effet^^..je vais essayer de chercher comment démontrer que la surface d'un hexagone régulier dont le rayon du cercle inscrit est Ri est égale à 2*racine(3) *(Ri)²

La hauteur de l'hexagone est aussi celle, en médiane, de ses six triangles équilatéraux.

[newman]

La hauteur de l'hexagone est aussi celle, en médiane, de ses six triangles équilatéraux.

Oui , très jolie comme preuve ça me change un peu des gros théorèmes de Maths spé^^

[newman]

Je me rends compte aussi que ta méthode(ELerinna) est beaucoup plus efficace que la comparaison série-intégrale..en effet si on prend un octogone à la place d'un hexagone ..on obtient une majoration (et aussi une minoration en considérant le cercle circonscrit ) encore plus fine

On peut donc ,en considérant des polygones avec toujours + de côtés ,approximer de manière toujours plus fine la valeur de Pi...

Ce que je me demande c'est: .existe-t-il un algorithme ,qui à partir du nombre N de côtés, donne l'aire des polygones considérés (en fonction du rayon du cercle inscrit pour la majoration,en fonction du cercle circonscrit pour la minoration )en Maple par exemple?
.Quelle est sa complexité?


J'imagine cependant que cette méthode est déjà connue pour trouver les décimales de Pi..

[Mathusalem]

Je me rends compte aussi que ta méthode(ELerinna) est beaucoup plus efficace que la comparaison série-intégrale..en effet si on prend un octogone à la place d'un hexagone ..on obtient une majoration (et aussi une minoration en considérant le cercle circonscrit ) encore plus fine

On peut donc ,en considérant des polygones avec toujours + de côtés ,approximer de manière toujours plus fine la valeur de Pi...

Ce que je me demande c'est: .existe-t-il un algorithme ,qui à partir du nombre N de côtés, donne l'aire des polygones considérés (en fonction du rayon du cercle inscrit pour la majoration,en fonction du cercle circonscrit pour la minoration )en Maple par exemple?
.Quelle est sa complexité?


J'imagine cependant que cette méthode est déjà connue pour trouver les décimales de Pi..

Tu peux trouver la formule exacte. Tu prends un polygône régulier à N côtés inscrit dans un cercle de rayon R. Tu pars du centre. Tu peux diviser le polygône en N triangles isocèles (en partant du centre, tu interceptes un des côtés).

En faisant un dessin, tu te rends compte que l'angle à la pointe du triangle est de 360/N. Le demi angle, 180/N, te permet de calculer la hauteur du triangle qui est de R*cos(180/N), et sa base vaut 2*R*sin(180/N).

Donc l'aire totale vaut A = N*base*hauteur/2 = N*R^2cos(180/N)*sin(180/N) = N/2 R^2 sin(360/N)

Ou en notation radians A = N/2 R^2 sin(2pi/N)
tu peux montrer que dans la limite où N tend vers l'infini, l'aire tend vers piR^2

[newman]

ok merci Mathusalem