Limite supérieur et inférieur suite

[Khaize]

Bonjour.
Voila, je revise pour un DS à la rentrée et je ne comprend pas les éléments d'un corrigé d'un exercice.
Voila l'énoncé:
Soit (Un) une suite réelle bornée,
pour tt n apparteant à IN, on note An={Up/p>ou=n}
On note Rn=inf(An) et Sn=sup(An)

On d'abord de justifier que RnPuis on nous demande de montrer que (Rn) est croissante et (Sn) est décroissante.
Pour cette dernière question, le corrigé par de An+1 est inclu dans An pourquoi?

merci d'avance Khaize

[Nightmare]

Salut !

Il suffit d'écrire les définitions. Rn, c'est la borne inférieure de An, il est donc plus petit que tous les , quel que soit . En particulier il est plus petit que !

La croissance c'est la même chose, il suffit d'écrire les définitions !

[Khaize]

Ah oui p peut etre egal a n ^^. Merci beaucoup, effectivement c'est la simple application de la définition :mur:
Par contre quelle définition applique tu pour les croissances ?

[bend]

1- Pour Rn <= Un <= Sn (Un change au meme temps que Rn et An ) et chaque fois Un appartien a An et puisque Rn et Sn sont les Borne de An , ...CQFD

2- soit x appartient à An+1 , il existe p >= n+1 Up = x
puisque p >= n alors Up appartient à An
de coup x appartien à An
donc on a montré que An+1 est inclu dans An

--- An+1 inclu dans An ---> inf (An+1) >= inf (An)
---- Sup(An) > Sup (An+1) CQFD

[Khaize]

Merci bend pour ta réponse à la 2e partie, c'est vraie que c'est logique mais j'avais du mal avec le concepte d'ensemble dans cette exos, je comprenais pas que Up ne soit pas un nombre comme Un.
Merci beaucoup pour vos reponse c'est plus clair maintenant :happy2:
Bonne fête de fin d'année a vous 2.

[Khaize]

j'ai encore une autre petite question.
La fin de l'exercice consiste à prouver que si (Un) converge vers l appartenant a IR alors limUn = lim(Rn) = lim(Sn)=l .
On nous conseille d'utiliser la définition formelle d'une suite.
J'ai essayer plusieur méthode pour prouver d'abord que l=limrn et ensuite l=limSn mais je n'arrive pas à retomber exactement sur une définition formelle rigoureuse.
Auriez-vous une idée de comment fonctionner?