Algébre linéaire

[mimi123ah]

Bonjour,

Je suis actuellement en période de partiels. J'ai mercredi une épreuve de math et je fais actuellement des annales non corrigées.

J'aurai besoin de votre aide pour 3 questions d'un exercice où je ne vois pas du tout comment faire.

Merci d'avance.

Voici le sujet:

Soit g(x,y,z)=(2x-3y,y-2x) une application linéaire

1) determiner le noyau de g
2) en deduire le rang et déterminer une base de l'image g.
3) Determinez la matrice représentative de g en prenant la base [(1,1);(2,1)] au départ et la base [(0,1),(2,0)] à l'arrivée.
4) Est-il possible de construire une application h telle que h(g(x,y))=(x,y)? Si oui, determinez cette application h(x,y).
5) Résolvez le système récurrent suivant:
Xn+1=2Xn-3Yn
Yn+1=Yn-2Xn
En fonction des conditions initiales (X0,Y0)


Alors, les 2 premières questions sont très simples. Cependant, les 3 autres questions, je ne vois pas du tout comment faire.
En ce qui concerne la dernière questions, je vois que il y a un rapport entre le systeme et la matrice de g mais je ne vois pas du tout comment faire.

Merci de votre aide

[Manny06]

Bonjour,

Je suis actuellement en période de partiels. J'ai mercredi une épreuve de math et je fais actuellement des annales non corrigées.

J'aurai besoin de votre aide pour 3 questions d'un exercice où je ne vois pas du tout comment faire.

Merci d'avance.

Voici le sujet:

Soit g(x,y,z)=(2x-3y,y-2x) une application linéaire

1) determiner le noyau de g
2) en deduire le rang et déterminer une base de l'image g.
3) Determinez la matrice représentative de g en prenant la base [(1,1);(2,1)] au départ et la base [(0,1),(2,0)] à l'arrivée.
4) Est-il possible de construire une application h telle que h(g(x,y))=(x,y)? Si oui, determinez cette application h(x,y).
5) Résolvez le système récurrent suivant:
Xn+1=2Xn-3Yn
Yn+1=Yn-2Xn
En fonction des conditions initiales (X0,Y0)


Alors, les 2 premières questions sont très simples. Cependant, les 3 autres questions, je ne vois pas du tout comment faire.
En ce qui concerne la dernière questions, je vois que il y a un rapport entre le systeme et la matrice de g mais je ne vois pas du tout comment faire.

Merci de votre aide

calcule g(1,1)et g(2,1) et exprime les en fonction de (2,0 et (0,1)
h est l'application reciproque de g tu peux inverser la matrice de g pour avoir la matrice de h
pour le dernier je pencherai pour diagonalser la matrice de g
resoudre le système avec des vecteurs propres puis revenir au système initial

[mimi123ah]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. J'ai compris la dernière question. Cependant, je n'ai pas compris pour la 3 eme question en ce qui concerne le changement de base.

[FlorianH]

Il faut calculer g(1,1) = (-1,-1) et g(2,1) = (1,-3). Ensuite, il faut trouver les réels a et b tels que a*g(1,1) + b*g(2,1) = (0,1), soit (-a+b,-a-3b) = (0,1), ainsi que les réels c et d tels que c*g(1,1) + d*g(2,1) = (2,1), soit... En résolvant les systèmes, tu dois trouver les éléments de la matrice recherchée.

[mimi123ah]

Merci énormément de m'avoir aidée. Je vais pouvoir aborder sereinement mon partiel demain.

Passez une très bonne soirée

Cordialement

Myriam