Que représente la matrice diagonalisée?

[Faror91]

Bonjour à tous,

Voila ma question est un peu compliquée, je ne sais pas si vous allez me comprendre mais je vais essayer de m'expliquer au mieux.
Alors la diagonalisation correspond à determiner les tel que d'après la définition:



Je pense que cela signifie que l'on cherche tous les tel que pour tous les on détermine des tel que pour "chaque groupe" de x correspondant à une valeur propre (c'est à dire pour chaque x appartenant à un sous espace propre) on ait où est la valeur propre associée à l'espace propre.

Lors de la diagonalisation lorsqu'on a la matrice P on a normalement finit comme on connait les bases (par definition de la matrice P qui réunit les bases des sous espaces propres) des "groupes de x" tel qu'on ait pour chaque "groupe de x" où est la valeur propre associée à chaque groupe de x. D'ou ma question dans ce cas là à quoi sert la matrice ? Je pensais qu'elle représentait la même fonction que la matrice M mais dans une autre base tel qu'on ait mais j'ai l'impression que cela ne marche par car lorsque l'on fait le produit matricielle:
, on obient: et donc en multipliant ces coordonnées par la base on aura l'image de la fonction qui est égale à quelque chose comme ce qui ne correspond pas à . Je ne sais pas si vous voyez ce que je comprends pas, mais j'espere que vous pourrez m'aider.

Merci d'avance

[SimonB]

Bonjour,

Effectivement, j'ai bien du mal à comprendre ce que tu racontes.

Je pense que cela signifie que l'on cherche tous les tel que pour tous les on détermine des tel que pour "chaque groupe" de x correspondant à une valeur propre (c'est à dire pour chaque x appartenant à un sous espace propre) on ait où est la valeur propre associée à l'espace propre.

Déjà là, on ne comprend rien. On cherche les tel que pour tous les on détermine des ? Pourquoi deux fois ?

On cherche effectivement toutes les valeurs propres, i.e. les tels qu'il existe non nul avec . Puis, pour chaque valeur propre , l'ensemble des vecteurs propres associés à cette valeur propre, ce que tu appelles le "groupe de x correspondant" (et qu'on appelle plutôt généralement sous-espace propre associé à la valeur propre ).

Lors de la diagonalisation lorsqu'on a la matrice P on a normalement finit comme on connait les bases (par definition de la matrice P qui réunit les bases des sous espaces propres) des "groupes de x" tel qu'on ait pour chaque "groupe de x" où est la valeur propre associée à chaque groupe de x. D'ou ma question dans ce cas là à quoi sert la matrice ?

A quoi sert-elle ? Ben normalement, si tu as bien diagonalisé, est diagonale, donc tu lis facilement les valeurs propres de la matrice de départ (pour laquelle c'était moins facile a priori...).

Je pensais qu'elle représentait la même fonction que la matrice M mais dans une autre base

C'est effectivement le cas (comme toute matrice semblable à M, elle représente la même application).

tel qu'on ait

Qui est x ? Précisément, dans la nouvelle base induite par la matrice de passage , tu auras effectivement , et . Ce n'est en revanche pas vrai pour tous les vecteurs de l'espace.

mais j'ai l'impression que cela ne marche par car lorsque l'on fait le produit matricielle:
, on obient:

Oui, c'est heureux...

et donc en multipliant ces coordonnées par la base

Quoi ? Comment ça, pourquoi on multiplie des coordonnées par une base ? Qu'est-ce que ça veut dire ?

on aura l'image de la fonction qui est égale à quelque chose comme ce qui ne correspond pas à . Je ne sais pas si vous voyez ce que je comprends pas, mais j'espere que vous pourrez m'aider.

Qui sont a, b, c ? Là, je ne comprends plus rien.

Quel est ton niveau ? Dans tous les cas, essaye de faire les choses calmement et avec les définitions. Ton langage est trop imprécis pour monter un raisonnement correct.