Déterminant par pivot de gauss (pb de signe)

[Cryptocatron-11]

Bonsoir,

Je suis parti de la matrice suivant


J'ai donc cherché à calculer son determinant. J'ai utilisé la méthode du pivot de gauss pour me ramener à une matrice triangulaire.
Je suis donc parvenu à ce determinant



J'ai eu envie de permuter les lignes L2 avec L3 puis aussi permuter les colonnes C2 avec C3, ce qui me donne



Je sais qu'on obtient le determinant au signe près mais je ne sais pas à quelle puissance il faut mettre le (-1) qui doit se trouver devant le determinant.
J'ai lu que dès qu'on change de ligne ou de colonne ça change le signe mais vu que j'ai changé deux fois ça devrait au final rien changé au signe ( -1 * - 1 = 1 )

Mais je retombe sur -32 alors que la vraie valeur c'est 32 :mur:

[Skullkid]

La première étape du pivot de Gauss donne et non . À noter qu'il n'y a pas vraiment besoin d'aller plus loin puisque le calcul "à la main" (règle de Sarrus) est immédiat grâce aux zéros bien placés.

[Cryptocatron-11]

D'accord mais si on veut changer une ligne avec une autre et puis une colonne avec une autre , le signe devient quoi ?

[Skullkid]

Quand tu permutes deux lignes ou deux colonnes, tu multiplies le déterminant par -1. Donc dans le calcul que tu as présenté tu as multiplié par (-1)^3 = -1.

[Cryptocatron-11]

Aussi j'ai un exo ou on me demande

Existe t il une matrice tel que ?

On cherche un matrice 5*5 OK mais je comprend pas les deux conditions :triste:

[Skullkid]

Je dirais que désigne le polynôme minimal de A.

[Cryptocatron-11]

Ok donc ça n'a rien avoir avec les polynomes caractéristiques ...

Le X désigne donc une matrice ?

[Judoboy]

Le X désigne donc une matrice ?

Le "X" désigne une indéterminée. Le polynôme minimal c'est le polynôme unitaire de plus faible degré qui annule ta matrice (en gros Ma^3=0 et aucun polynôme de degré inférieur ou égal à 2 n'annule Ma).

[waddle30]

étant dans la même promo que crypto je ne vois pas comment l'on pourrait faire cet exo sans savoir ce qu'est un polynôme minimal ....

[Skullkid]

Si on vous a donné cet exercice à faire et que vous n'avez jamais entendu parler de polynôme minimal, soit "on" s'est trompé en vous le donnant, soit vous êtes censés savoir ce qu'est le polynôme minimal, soit désigne autre chose (mais je vois pas quoi).

[waddle30]

Si on vous a donné cet exercice à faire et que vous n'avez jamais entendu parler de polynôme minimal, soit "on" s'est trompé en vous le donnant, soit vous êtes censés savoir ce qu'est le polynôme minimal, soit désigne autre chose (mais je vois pas quoi).

j'ai juste une question:
si on a E qui est de dim n et f appartenant à L(E) tq f^n=0 et f^(n-1)différent de 0
on a x de E tq f^(n-1)(x)!=0 et b=(x,f(x)........f^(n-1)(x))
b base de E (la famille est libre car ils sont tous diff de 0 c'est sa non?)
c'est la que je bloque il faut M(f,b)=?
peut tu m'aider s'il te plait?

[Skullkid]

Si M(f,b) désigne la matrice de f dans la base b, tu procèdes comme d'habitude : tu décomposes suivant b les images par f de chacun des vecteurs de b.

Edit : j'avais pas vu ta justification pour dire que b est une base. Non, il ne suffit pas de dire que tous les vecteurs de b sont non nuls pour affirmer que b est libre. Il faut appliquer la définition d'une famille libre.

[waddle30]

Si M(f,b) désigne la matrice de f dans la base b, tu procèdes comme d'habitude : tu décomposes suivant b les images par f de chacun des vecteurs de b.

Edit : j'avais pas vu ta justification pour dire que b est une base. Non, il ne suffit pas de dire que tous les vecteurs de b sont non nuls pour affirmer que b est libre. Il faut appliquer la définition d'une famille libre.

si tous les vecteurs sont non nul et qu'on a (a1,......an) de R^n
a1x+....+anf^(n-1)(x)=0
ils seront tous différents
implique que (a1,......an)=(0.....0) non
?

[Skullkid]

si tous les vecteurs sont non nul et qu'on a (a1,......an) de R^n
a1x+....+anf^(n-1)(x)=0
ils seront tous différents
implique que (a1,......an)=(0.....0) non
?

C'est qui "ils" qui sont tous différents ? Les ? Ça n'implique pas que la famille est libre. Dans , la famille ((0,1),(0,2),(0,4),(0,8)) est formée de vecteurs non nuls et distincts, pourtant ce n'est pas une famille libre. Pour ton exercice, il faut que tu démontres que chacun de tes coefficients est nul, en utilisant les propriétés de f.

[waddle30]

C'est qui "ils" qui sont tous différents ? Les ? Ça n'implique pas que la famille est libre. Dans , la famille ((0,1),(0,2),(0,4),(0,8)) est formée de vecteurs non nuls et distincts, pourtant ce n'est pas une famille libre. Pour ton exercice, il faut que tu démontres que chacun de tes coefficients est nul, en utilisant les propriétés de f.

ben la je sèche désolé :mur:

[Skullkid]

Applique f à une puissance bien choisie à ton égalité .

[waddle30]

Applique f à une puissance bien choisie à ton égalité .

on applique f^(n-k) des deux cote de l'égalité ,or f et linéaire donc on a :
.
et comme les f^n-1 sont tous diff de 0,pour que la somme soit égale à 0 il faut donc que les ak soit tous nuls
on a une famille libre de n vecteur dans un ev de dim n donc c'est une base

[Skullkid]

Tu ne peux pas appliquer comme tu le fais, il y a conflit de notation. Dans mon écriture, k est une variable muette, qui change de valeur pour chacun des termes de la somme et qui ne veut rien dire en dehors de cette somme. Si tu veux appliquer une certaine puissance de f, disons à l'égalité, ça donne . À toi de choisir une ou des valeurs de p, qui ne peuvent bien sûr pas dépendre de k, pour en tirer des informations.

Et encore une fois, le fait que les vecteurs sont différents n'implique en rien la liberté de la famille.

[Cryptocatron-11]

J'ai bcp de mal à voir ou on va. Ce que je remarque c'est qu'on a deux indices différents (k et k+1) pour a et pour f . mais j'ai aucune idée pour p ...

[Skullkid]

Le coup des indices différents c'est juste parce que waddle30 a appelé ses coefficients et pas . Si vous n'êtes pas confortables avec la notation , vous pouvez écrire avec des points de suspension. L'idée c'est d'appliquer à l'égalité, avec des valeurs de p bien choisies. Regardez ce que ça donne pour p=1, pour p=2, etc.