Resolution d'equations

[Aizen]

J'ai du mal demontrer ses priorités, j'espere que vous pourrez m'aidez :

f est une fonction derivable sur [a;b] avec f(a).f(b)<0
On cherche à resoudre f(x)=0 (x appartenant à ]a,b[). Soit & la valeur exacte

Montrer que : soit f((a+b)/2) < & < b
soit a < & =< f((a+b)/2)


je doit ensuite en déduire un algorithme qui permet d'approcher & d'aussi pres que l'on veut

[mathelot]

L'algorithme s'appelle la recherche dichotomique:
Si l'on appelle l'unique nombre réel tel que
On note et . On va définir deux suites de terme général et par récurrence:
on commence par calculer la valeur prise par la fonction f au point
. Trois cas sont alors possibles:
1er cas:
. l'algorithme s'arrête car on a trouvé la racine,
il s'agit de .
2ème cas:
alors est du même signe que . est alors dans l'intervalle . On pose et
3ème cas:
alors est du même signe
que f(a). On pose et
Ensuite, on recommence avec l'intervalle dont la longueur est , donc une longueur deux fois
plus petite. Cet algorithme définit deux suites adjacentes de limite commune

[mathelot]

dans le 3ème cas:

On montre par récurrence que les deux suites définissent une famille emboitée
d'intervalles tous contenant
On en déduit la majoration

[Aizen]

je vois, j'ai mieux compris :)
merci beaucoup !