Algèbre linéaire

par **blackstorm** » 09 Mar 2012, 15:17

Bonjour, comment fait on pour savoir si un application est linéaire?

Par exemple:
Soit f : R2 ---> R2 telle que f(x, y) = xy. L'application f est-elle linéaire?

Je sait qu'il faut voir les conditions de multiplication addition mais je ne voit pas comment faire avec cette application.

par **Skullkid** » 09 Mar 2012, 15:25

Bonjour, il s'agit de revenir aux définitions. Si u et v sont deux vecteurs du plan et k est un réel, calcule f(u+kv) et compare avec f(u) + kf(v).

par **blackstorm** » 09 Mar 2012, 15:39

Skullkid a écrit:Bonjour, il s'agit de revenir aux définitions. Si u et v sont deux vecteurs du plan et k est un réel, calcule f(u+kv) et compare avec f(u) + kf(v).

Pouvez vous m'expliquer comment il faut faire avec mon exemple? svp :help:

par **Skullkid** » 09 Mar 2012, 15:44

Il faut que tu essayes, sur un papier. L'image d'un vecteur par f c'est le produit des coordonnées du vecteur. Normalement tu sais ajouter des vecteurs et les multiplier par des réels.

par **blackstorm** » 09 Mar 2012, 16:09

Skullkid a écrit:Il faut que tu essayes, sur un papier. L'image d'un vecteur par f c'est le produit des coordonnées du vecteur. Normalement tu sais ajouter des vecteurs et les multiplier par des réels.

Je trouve ça mais ça m'a l'air faux: :we: j'ai pris u=(x,y) et v=(x',y')

Donc je fais f((x,y)+k(x,y)) et f(x,y) + kf((x,y))
f((x,y)+k(x,y)) = f(kx+x,ky+y)=(kx+x).(ky+y)
f(x,y) + kf((x',y')) = xy+kxy

ce qui voudrais dire que ce n'est pas une application linéaire?

par **ffpower** » 09 Mar 2012, 16:51

Il faut justifier que tes deux quantités obtenues ne sont pas forcément égales pour ça. Et le mieux pour ça est de créer un contrexemple.

par **blackstorm** » 09 Mar 2012, 16:59

ffpower a écrit:Il faut justifier que tes deux quantités obtenues ne sont pas forcément égales pour ça. Et le mieux pour ça est de créer un contrexemple.

bah si je prends ces valeurs (mais ca ne me dit pas si mon calcul est juste) :
x=1 y=2 x'=3 y'=4 et k=5
f((1,2)+k(3,4)) et f(1,2) + 5f((3,4))
f((1,2)+5(3,4)) = f(15+1,20+2)=(16).(22)=352
f(1,2) + 5f((3,4)) = 2+60=62

62;)352

par **ffpower** » 09 Mar 2012, 20:13

Ton calcul est juste oui, et ton contre exemple aussi (même si on a tendence à prendre les contrex les plus simples possibles d'habitude, i.e. avec beaucoup de 0,1 ^^)

par **blackstorm** » 10 Mar 2012, 13:39

ffpower a écrit:Ton calcul est juste oui, et ton contre exemple aussi (même si on a tendence à prendre les contrex les plus simples possibles d'habitude, i.e. avec beaucoup de 0,1 ^^)

Ok merci pour l'aide.

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