TS spé: arithmétique

[titoui]

Bonjour,
voila on demande dans un exo du bac de résoudre l'équation diophantienne 3u+13v+23w=0, et on me demande de justifier que: v ;) w (mod 3) et je sais pas comment m'y prendre.

Aprés il faut justifier que (-13-23k'-12r;3k+r;3k'+r) sont les solutions de l'équation mais une fois qu'on a démontré le premier truc sa va.
Merci d'avance.

[Mikou]

modulo quoi ?

[titine]

Bonjour,
voila on demande dans un exo du bac de résoudre l'équation diophantienne 3u+13v+23w=0, et on me demande de justifier que: v w (mod 3) et je sais pas comment m'y prendre.

Aprés il faut justifier que (-13-23k'-12r;3k+r;3k'+r) sont les solutions de l'équation mais une fois qu'on a démontré le premier truc sa va.
Merci d'avance.

Cet énoncé me parait bizare ... Es tu sûr qu'il est exact et complet ?

[Mikou]

'v ;) w (mod 3)' pour moi c'est faux ...

[mathelot]

Pour résoudre l'équation 3u+13v=-23w
tu peux remarquer que 3 et 13 sont premiers entre eux, trouver
des coefficients de Bezout de 3 et 13 par l'algorithme d'Euclide...

[flight]

salut

l'équation donnée est celle d'un plan , on peut donner donner sa réprésentation parametrique sachant que ce dernier est engendré par 2 vecteurs A et B

E={ (u,v,w) de R^3/ 3u+13v+23w=0}.


alors u=-13/3.v-23/3.w.

alors E est engendré par vect{(-13/3.v-23/3.w,v,w)}
soit aussi vect(v(-13/3,1,0)+w(-23/3,0,1))

alors E est engendré par les vecteurs (-13/3,1,0) et (-23/3,0,1))
O(0,0,0) est un point verifiant l'équation du plan , soit M , un point appartenant au plan , alors :

OM=k.vect(A)+k'.vect(B) k et k' deux réels

soit u=-13/3.k-23/3.k'
v= k
w= k'.
qui est la représentation parametrée du plan d'équation 3u+13v+23w=0

apres , je pense que ton énoncé doit comporter des erreurs.

[abel]

Salut, pour le 1er truc :

il faut effectuer la division par 3 du coup :
- 0=0[3]
- donc 3u+13v+23w=0[3]
- or 3u=0[3]
- donc 13v=-23w[3]
- or 13=1[3] nécessairement il faut v=-23w[3]
23w=-v[3]

or 23 = -1 [3] donc
w=v[3] (ce qui est equivalent à v=w[3])

PS : a=b[c] signifie ici : a congru à b (mod c)

EDIT : pr els solutions, je trouve (k,3k'+r,r), maintenant il reste à vérifier que cela convient car on a raisonné par CN. En faisant la CS, je trouve la relations suivante : k=-13k'-12r
Le raisonnement est de remplacer les solutions trouvées dans l'equation et de deduire une nouvelle relation c'est tre simple
Les solutions sont donc : (-13k'-12r,3k'+r,r)

[titoui]

bon désolé mais je viens de retrouver une correction qu'on avit faite en cours:
3u+13v+23w=0
3u+12v+v+24w-w=0
v-w=-3u-12v-24w=3(-u-4v-6w)
donc 3 divise v-w, donc v=w[3]
Mais bon vous venez de montrez qu'il y a beaucoup plus d'une méthode pour résoudre un probleme.