TS spé maths arithmétique

[raptor77]

Bonjour j'ai un problème avec un exercice sur le crtière d'eisenstein :
soit l'équation x-6x+5x-3x-31x+2=0
MOntrer que si cette équation posède une solution entière alors cette solution ne peut être que -2;-11 ou 2.
Cette équation a-t-elle une solution entière? Alors là je sais pas du tout comment faire mais je sais que cette équation a une solution etière.

Montrer que si p et q sont premiers entre eux alors pet q^n (pour n entier naturel) sont premiers entre eux : ca j'ai réussi c'est bon.

On considéez à présent l'équation (E) :
Anx^n+A(n-1)x^(n-1)+...+A1x+Ao où An,A(n-1),..A1, Ao sont des entiers avec Ao différent de 0

a) On suppse que l'équation (E) admet une solution de la forme x=p/q où p et q sont des entiers tels que la fraction p/q soit irréductible.
En appliquant 2 fois le théorème de Gauss montrer que p divise aAo et que q divise An
Alors là je sais pas quoi faire je sais que pgcd(p;q)=1 (nécessaire pour appliquer le théorème de Gauss)

b) Enoncer lors un critère permettant de connaître les fractions qui peuvent être solutions d'une équation polynomiale à coefficient entiers : je sais aps non plus je pense que la réponse 3)a m'aidera à trouver la réponse.

[Nightmare]

Salut

Soit p une solution entière.

Alors

p divise le membre de gauche donc divise aussi le membre de droite.

On en déduit que p peut être uniquement égal à -2, -1, 1 ou 2.

Teste ces 4 solutions voir si elles marchent.

Même idée pour p/q, remplace dans l'équation, multiplie par q^n et regarde ce qu'il se passe.

[raptor77]

Salut

Soit p une solution entière.

Alors

p divise le membre de gauche donc divise aussi le membre de droite.

On en déduit que p peut être uniquement égal à -2, -1, 1 ou 2.

Teste ces 4 solutions voir si elles marchent.

Même idée pour p/q, remplace dans l'équation, multiplie par q^n et regarde ce qu'il se passe.

Merci Nightmare pour le 3)a j'ai fait
a(n)*(p/q)^n+a(n-1)(p/q)^(n-1)+....+a1*(p/q)+ao
mais c'est bizarre parce que une équation est oujours égale à qqch et là j'ai rien
en multipliant par q^n j'ai
a(n)*p+a(n-1)*p*q+....+a1*p*q(n-1)+ao*q^n mais delà j'aboutis à rien

[Nightmare]

Effectivement il manque un =0

Si tu as a(n)*p+a(n-1)*p*q+....+a1*p*q(n-1)+ao*q^n=0

Soit encore
a(n)*p=-a(n-1)*p*q-....-a1*p*q(n-1)-ao*q^n

q divise le membre de droite, donc le membre de gauche. Comme q premier avec p, d'après Gauss q divise a(n).

Même idée pour p.

[raptor77]

Effectivement il manque un =0

Si tu as a(n)*p+a(n-1)*p*q+....+a1*p*q(n-1)+ao*q^n=0

Soit encore
a(n)*p=-a(n-1)*p*q-....-a1*p*q(n-1)-ao*q^n

q divise le membre de droite, donc le membre de gauche. Comme q premier avec p, d'après Gauss q divise a(n).

Même idée pour p.

je multiple par p aussi?
Si c'est ca j'obtirens alors
a(n)*p^(n+1)/q^n+a(n-1)*p^n/q^(n-1)+....a1*p/q+ao*p=0
Comment faire pour mettre le a^n à l'écart et se débarrasser du p^(n+1)?

[Nightmare]

Non il faut réfléchir un minimum.

Quel est le seul terme qui ne contient pas de p ? Conclusion?

[raptor77]

Non il faut réfléchir un minimum.

Quel est le seul terme qui ne contient pas de p ? Conclusion?

tous les termes contiennet des p puisque ca va de p+1 à p

[Nightmare]

Non je te parle de a(n)*p+a(n-1)*p*q+....+a1*p*q(n-1)+ao*q^n

[raptor77]

Non je te parle de a(n)*p+a(n-1)*p*q+....+a1*p*q(n-1)+ao*q^n

ah ba alors c'est ao*qn

[Nightmare]

Voila, donc p divise a0.q^n mais p premier avec q, d'où d'après le lemme que tu as démontré, p premier avec q^n et d'après Gauss, p divise a0.

[raptor77]

Voila, donc p divise a0.q^n mais p premier avec q, d'où d'après le lemme que tu as démontré, p premier avec q^n et d'après Gauss, p divise a0.

Euh Nightmare je crois que ya eu un quiproquo là parce que j'avais compris pour p dvise ao et quand je t'ai demandé si il fallait mutilplié par p c'était pour savoir comment démontrer que q divisait a^n :zen:

[Nightmare]

q divise a(n) je l'ai fait dans mon deuxième post !

[raptor77]

q divise a(n) je l'ai fait dans mon deuxième post !

merci bcp Nightmare et poour la dernière question si je dis que p doiviser ao et q an ca va ou pas?

[Anonyme]

Bonjour Raptor 77.
Je ne crois pas que cela soit très malin de demander aux internautes de faires mes Devoirs Maisons à ta place.
Tu as deviné qui suis-je j'imagine ?
La derniere question est logique puisqu'on suppose en 3. a) que l'équation admet une solution de la forme x=p/q .

Pour l'application, dis-moi si tu arrive à appliquer ce qu'on suppose en 3. a).

[Dominique Lefebvre]

Bonjour Raptor 77.
Je ne crois pas que cela soit très malin de demander aux internautes de faires mes Devoirs Maisons à ta place.
Tu as deviné qui suis-je j'imagine ?
La derniere question est logique puisqu'on suppose en 3. a) que l'équation admet une solution de la forme x=p/q .

Pour l'application, dis-moi si tu arrive à appliquer ce qu'on suppose en 3. a).

Et bien raptor, on propose à sa copine de faire son DM et on le pose sur le fourm, amusant ça :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[raito123]

La derniere question est logique puisqu'on suppose en 3. a) que l'équation admet une solution de la forme x=p/q .

Apparement elle est plus intelligente que lui!!!:lol5:

[matou]

Apparement elle est plus intelligente que lui!!!:lol5:

Si sa copine était réelement plus intelligente que lui elle ne lui aurait pas passé son dm pour qu'il le fasse puisqu'elle aurait très bien réussi toute seule :hum: !