Algèbre linéaire simple

[pihro]

Bonjour,

J'ai du mal à résoudre cette question, pourriez-vous m'aider ? :

"Soit u un endomorphisme non nul de R^3 tel que u^3 = -u.
Montrer que pour tout x élément de Ker(u^2 + Id)\{0}, (x,u(x)) est une famille libre.
Sachant qu'on a déjà Im(u) inclus dans Ker(u^2 + Id), que peut on en déduire sur la dimension de E...

Merci d'avance !

[abel]

x est dans ker (u²+id) donc u²(x) = x

donc si on a : a*x + b*u(x) = 0 alors :

on appliquant u :

a*u(x) + bx = 0 donc on arrive a a=-b ce qui donne finalement dans le cas a<>0 :

x=u(x)
donc en appliquant u² on tombe sur u²(x) = -u(x) et donc x=-u(x) donc x=-x donc x= 0 ---->contraire aux hypotheses donc a=0 donc b=0 donc (x,u(x)) est libre

[pihro]

y a un petit prob dans ta démonstration : tu te sers de u(x)² = x, ce qui est faux !

[kazeriahm]

euh si je puis me permette, x est dans Ker(u^2+Id) donc U^2(x)=-x
si a*x+b*u(x)=0 alors a*u(x)-b*x=0 ce qui impose a=b=0... (car x non nul)

[Zebulon]

x est dans Ker(u^2+Id) donc U^2(x)=-x
si a*x+b*u(x)=0 alors a*u(x)-b*x=0 ce qui impose a=b=0... (car x non nul)

Bonjour,
détaillez un peu (comment passer de a.u(x)-bx=0 à a=b=0) même si je pense que vous savez.
x n'est pas non nul. Il n'est pas nul non plus! Il est seulement quelconque ce qui signifie que x peut ne pas être nul!

[kazeriahm]

c'est exact cependant l'enonce

Montrer que pour tout x élément de Ker(u^2 + Id)\{0}

stipule que l'on doit montrer ceci pour x non nul.

Soit donc x dans Ker(u^2+Id), x non nul.
Alors u^2(x)=-x.
Soit a et b deux reels tels que a*x+b*u(x)=0.
alors u(a*x+b*u(x))=a*u(x)+b*u^2(x)=a*u(x)-b*x=0.
on a donc un systeme de deux equation lineairement independantes, admettant ainsi une unique solution, celle ci etant (a,b)=(0,0) ce qui montre que (x,u(x)) est libre