Algebre Lineaire - Matrice

[Kalou94]

Bonjour,
Je suis en revision de partiel et je fais des exos pour m'exercer.
Je suis tombe sur celui ci et je ne vois vraiment pas comment partir...

Soit A une matrice carre d'ordre n a coefficients complexes.
On suppose que A verifie la condition suivante: A* = -A^3, ou A* est la matrice adjointe de A.
1) Montrer que A est diagonalisable.
2) Soit x valeur propre quelconque de A, montrer que si x != 0 (x different de 0), on a |x| = 1.
3) Que peut on dire des valeurs propres de A?

Si vous avez quelques eclaircissements, je vous en serez reconnaissant.
Merci.

[alm]

Salut,

Bonjour,
Je suis en revision de partiel et je fais des exos pour m'exercer.
Je suis tombe sur celui ci et je ne vois vraiment pas comment partir...

Soit A une matrice carre d'ordre n a coefficients complexes.
On suppose que A verifie la condition suivante: , ou est la matrice adjointe de A.
1) Montrer que A est diagonalisable.
2) Soit x valeur propre quelconque de A, montrer que si , on a
3) Que peut on dire des valeurs propres de A?

Si vous avez quelques eclaircissements, je vous en serez reconnaissant.
Merci.

Pour le 1), une idée est de remarquer que de , on peut tirer : , du coup on a un polynôme annulateur , à savoir : . Or il s'agit d'un polynôme scindé à racines simples (à savoir : et les racines èmmes de l'unité) et le cours dit qu'une matrice annulée par un tel polynôme (scind"é à racines simples et diagonalisable dont les valeurs propres sont PARMIS les racines de ce polynômes ...
2) La réponse se trouve ci-dessus.
3) Il est posssible de rafiner en utilisant la définition de la matrice adjointe :
Si est une valeur propre de , alors il existe une matrice colonne non nulle tel que , il en résulte que , ce qui te donne ou (à toi de détailler , je ne veux pas te donner tout )