Exercice sur les exponentielles

[Transformers]

Bonjour tout le monde ! J'ai un très gros exercice à faire pour la semaine prochaine et je m'y prends à l'avance afin de ne pas débordée. Je viens de terminer la première partie, non sans mal, mais malheureusement, je suis complètement perdue sur cette seconde partie. C'est pourquoi, je fais appel à vous, si c'est possible bien entendu ! :happy3:

Dans la partie A la fonction f est définie par : f(x) =

Dans cette seconde partie, on se propose de déterminer l'ensemble E de toutes les fonctions f, dérivables sur et vérifiant pour tout réel x et y:

[CENTER]f(x+y)+x+y= [f(x)+x][f(y)+y] (I)[/CENTER]

1. a. En posant x=y= , démontrer que :
pour tout f dans E et pour tout réel X, f(X)+X 0

=> J'ai remplacé x et y par dans chaque membre, et j'obtiens :
f(X)+X = donc il s'agit d'une identité remarquable, ainsi on a bien f(X)+X 0. Je n'ai réussi que cette question.

b. Démontrer que si f appartient à E, alors nécessairement f(0) = 0 ou f(0) = 1

2. Déterminer la fonction f lorsque f(0) = 0

3. a. Démontrer que s'il existe un réel tel que

f() + = 0 alors :
pour tout réel x, f(x) + x = 0
(On pourra par exemple remarquer que x = ( x - ) + et utiliser la relation (I) ).

b. En déduire que si f(a) = 1, alors pour tout réel x : f(x) + x > 0.

Merci d'avance ! :happy:

[el niala]

pour démarrer :

1a) pourquoi as-tu développé le membre de droite ? tu ne vois pas son signe avant ?

1b) (I) pose simplement x=0, y quelconque dans la relation (I)

[Transformers]

Tout d'abord merci de la réponse si rapide !

Alors pour la 1), je n'ai vu ça qu'une fois développé en réalité !
Pour la 2), j'ai trouvé au final que mais je ne vois vraiment pas comment faire pour trouver f(0) = 0.

[el niala]

1b) tu ne vois pas f(0)=0 car tu as divisé D'AUTORITE par f(y)+y, tu n'en as le droit que si f(y)+y 0 et justement supposons que f(0)=0, à quoi est alors égal f(y)+y ? et dans ce cas l'équation initiale n'est-elle pas vérifiée ?

[Transformers]

Cela veut dire que y=0 dans ce cas non ? Par contre l'équation initiale est bien : ?

[el niala]

non, l'équation initiale c'est f(x+y)+x+y=[f(x)+x][f(y)+y] (1)

en reprenant ce que je t'ai proposé on pose x=0

d'où (1) f(y)+y=f(0)[f(y)+y] (2)

1er cas : f(0)=0 alors (2) est vérifiée non ?

2ème cas : f(0)0 et tu as trouvé

[Transformers]

Merci beaucoup j'ai enfin compris !
Par contre, la question suivante me pose encore problème :

Déterminer la fonction f lorsque f(0) = 0

Il faut bien utiliser l'équation que l'on nous donne au début c'est bien ça ?

[el niala]

non, non, tu commets la même erreur, f est (pour l'instant) quelconque
pose plutôt y=-x dans (I) et utilise le résultat de 1a)

[Transformers]

Ah oui effectivement, j'ai compris et j'ai même pu faire la question 2 !

Par contre j'ai tenté la question 3. a) mais ça ne me donne rien de bon :

J'ai remplacé dans l'équation x par mais ça me donne une expression à rallonge et je peine à isoler le . :/