Exercice d'algèbre linéaire

[mousslib]

Bonsoir,

Je prépare un CC de maths pour la semaine prochaine, et du coup je m'entraîne sur les exercices du TD, mais aussi sur des exercices trouvés ailleurs et dont je n'ai pas la correction.
Celui-ci me pose problème, alors si vous pouviez m'aider à le résoudre, je serais enchanté :)

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EXERCICE : On considère l'espace vectoriel E= R3 et e la base canonique.

1) Soit f : E --> E définie par f((x,y,z)) = (x+2y+2z , 2x+y-2z , 2x-2y+z)
a) Montrer que f est linéaire, écrire sa matrice A dans la base canonique de E.
b) Calculer le rang de f. L'application f est-elle bijective?
2) On pose F:={u;)E ; f(u) = 3u} et G:= {u;)E ; f(u) = -3u}
a) Mq F et G sont des SEV de E dont on déterminera la base et la dimension.
b) Démontrer que E = F sup de G
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Donc voilà le sujet :)

J'ai réussi à prouver que c'était linéaire, à écrire la matrice. En revanche, je ne sais pas calculer un rang (je ne l'ai pas trouvé dans mon cours non plus :S )
Ensuite, je croyais avoir démontré que F et G étaient des SEV, mais malheureusement dim F + dim G n'est pas égal à dim E.... Du coup je suis un peu embêté et je ne vois pas comment résoudre la chose :)

En espérant que vous pourrez m'éclairer!

Bonne soirée

[GagaMaths]

pour le rang, en fait une fois que tu as la matrice de ton application, il suffit de calculer le rang des vecteurs colonnes qui forment cette matrice (en gros, est-ce que les vecteurs sont linéairement indépendants ?)

pour démontrer que F et G sont des SEV tu utilises la caractérisations , par ex pour F, il faut :
F non vide
pour tous x, y dans F, alors tx+t'y reste dans F avec t,t' € R.