Dérivation et Continuité

[Cath_JS]

J'ai résolu le 1. et le 2a) de l'exercice. Vous pouvez m'aider pour le b) et le c) s'il vous plait?

On considère la fonction f définie sur l’ensemble des réels strictement positifs par f(x)= 6/x – 9/2x² + 1/x³
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d’unités 3cm.

1. Etudier les variations de la fonction f. Dresser le tableau des variations, en précisant les extremums.
-> j'ai trouvé (-6x² + 9x - 3) / x^4 pour la dérivé de f et 0,5 et 1 pour les racines dans le tableau de variation. (et f(o,5)= 11 et f(1) = 4,75)

2.a) Résoudre l’équation f(x)= 0. En déduire que la courbe C ne traverse jamais l’axe des abscisses.

b) D’après le tableau de variations, discuter suivant les valeurs du réel lambda le nombre de solutions à l’équation f(x)= lambda

c) Construire les tangentes à la courbe C aux points d’abscisse ½ et 1. Tracer la courbe C.

[Sylviel]

Découpes ta fonction en autant de partie qu'il y a de flèche dans ton tableau de variation. Si la fonction est continue, elle va passer une fois, et une seule, par chaque point entre le début de la flèche et la fin de la flèche. Après il ne reste plus qu'à compter ! Fais attention aux valeurs en bout de flèche !

Exemple :
f:x--> x² :
- elle est décroissante de +oo à 0 sur ]-oo,0] => elle passe une première fois par tous les points entre 0 et +oo.
- elle est croissante de 0 à +oo sur [0,+oo[ => elle passe une seconde fois par tous les points entre 0 et +oo.

Au final f(x)=lambda admet deux solutions pour tout lambda >0, une seule pour lambda=0 (en bout de flèche), aucune pour lambda <0


A toi de faire de même avec ta fonction.

[Cath_JS]

Découpes ta fonction en autant de partie qu'il y a de flèche dans ton tableau de variation. Si la fonction est continue, elle va passer une fois, et une seule, par chaque point entre le début de la flèche et la fin de la flèche. Après il ne reste plus qu'à compter ! Fais attention aux valeurs en bout de flèche !

Exemple :
f:x--> x² :
- elle est décroissante de +oo à 0 sur ]-oo,0] => elle passe une première fois par tous les points entre 0 et +oo.
- elle est croissante de 0 à +oo sur [0,+oo[ => elle passe une seconde fois par tous les points entre 0 et +oo.

Au final f(x)=lambda admet deux solutions pour tout lambda >0, une seule pour lambda=0 (en bout de flèche), aucune pour lambda <0


A toi de faire de même avec ta fonction.

Merci beaucoup pour votre explication

[Cath_JS]

Donc si j’ai bien compris, la fonction est décroissante de +infini à 2 sur [0, 0,5]. Elle passe donc une fois par tous les points entre 2 et +infini. Donc pour tout lambda prenant ses valeurs sur [0, 2], f(x) = lambda posséde une solution.

La fonction est croissante de 2 à 2,5 sur [0,5 , 1] et passe donc par tous les points entre 2 et 2,5. La fonction est donc passée une 2de fois par le point 2. Donc pour tout lambda = 2 prenant ses valeurs sur [2, 2,5] , f(x) = lambda possède 2 solutions dont x = 0,5.

Et finalement la fonction est décroissante de 2,25 à 0 sur [1, +infini[ et elle passe donc une seconde fois par tous les points entre 0 et 2,25. Ce qui voudrait dire si j’ai bien compris le raisonnement que pour tout lambda = 2,25 prenant ses valeurs sur [0, 2,25],, f(x) = lamda possède une solution.

Je penses que je n'ai pas vraiment compris :S

[Sylviel]

Effectivement, tu n'as pas l'air d'avoir bien compris. On va faire une autre approche :
trace une esquisse de ta courbe (juste des traits entre chaque limites de ton tableau de variation). L'équation f(x)= C à autant de solution qu'il y a de points d'intersection entre la courbe Cf et la droite horizontale y=C. A partir de ton schéma tu dois pouvoir trouver le nombre de points qui va bien...