Démonstrer par récurrence l'inégalité des accroissements fin

[sarahchalhoub]

Bonjour tout le monde! Besoin de votre aide pour un problème en math (chapitre sur les suites TleS)...

Voici l'énoncé de l'exercice:



Tout allait bien jusqu'à la question 4.(a)!
Je n'arrive pas à démontrer cette inéquation par récurrence!
Après quelques recherches je me suis rendue compte que c'était en rapport avec une certaine "inégalité des accroissements finis" qui est démontrée en utilisant le "théorème des accroissements finis".
Le problème c'est que c'est en quelques sortes hors programme, je sais que mon prof aime bien nous faire chercher des choses mais je doute qu'utiliser un théorème non vu soit le meilleur choix.
Serait-il donc possible de démontrer tout ça par récurrence? Si oui, comment svp?
(Sachez que j'ai passer bcp bcp de temps là dessus, je ne suis arrivée ici qu'en dernier recours...)

Merci d'avance!

[Mortelune]

Bonjour, si tu cherches un lien avec un théorème ce sera sans doute plus simple en regardant celui du point fixe.

Déjà tu as dû voir que et que la suite était croissante et positive.

Il faut donc majorer ce qui n'a rien à voir avec une récurrence pour cette partie là : il faut prendre un n quelconque et le montrer.

Pour la seconde inégalité par contre il va falloir faire une récurrence mais presque tout le travail aura été fait avec la première inégalité.

[sarahchalhoub]

Ca aurait peut être été une bonne solution si je savais appliquer le théorème du point fixe, mais aussi (et surtout) si f(Un) était croissante...

Par représentation graphique (si je ne me suis pas trompée bien sur), on se retrouve avec une sorte de spirale; sur l'axe des abscisses les termes vont se situer de part et d'autre de la limite éventuelle.

[Mortelune]

Ah oui j'ai regardé de trop loin, fin en fait utiliser l'encadrement trouvé avant : ça permet de faire ce que je dis en dessous, donc au final ça va quand même marcher.

[sarahchalhoub]

Je ne comprend pas trop ce que vous voulez dire... Utiliser la relation d'avant dans quel sens?
(Je suis complètement saturée désolée si ça semble pourtant évident)

[Mortelune]

En utilisant ça
Déjà on peut simplifier puis mettre au même numérateur, ce qui donnera une forme très proche de ce qu'on cherche. Il faudra ensuite minorer le dénominateur par 2 pour obtenir l'inégalité.

[sarahchalhoub]

Mettre au même numérateur?

[Mortelune]

:mur: Dénominateur, ce qu'on fait habituellement avec 2 fractions quoi ^^

[sarahchalhoub]

Je n'y arrive toujours pas, je vais baisser les bras
Je ne sais pas ce que c'est que le théorème du point fixe, c'est peut être pour ça aussi... décidément tout me laisse à penser qu'avec les connaissances que j'ai je ne peux pas venir à bout de ce problème!

[sarahchalhoub]

Ca y est! J'ai percuté! Mon dieu comme je suis bête! Merci bcp bcp! Ah la la je suis soulageeee