Equation (complexes)

[Trident]

Bonsoir, une équation me pose problème :



Je ne vois pas comment la résoudre.

J'avais déjà eu une équation du même genre :
et j'avais pu m'en sortir en remarquant qu'elle était équivalente à :

et donc c'était la somme d'une suite géométrique de raison iz , donc on se ramenait à résoudre avec différent de et donc on se ramenait à chercher les racines cinquièmes de l'unité.

Bref, là, j'ai essayé, mais je ne vois pas trop, si vous avez quelques indications, je suis preneur !

[Maxwell-]

Bonsoir, tu peux remarquer que 2 est racine évidente, et donc te ramener à un polynôme du 3ème degré.

[Doraki]

cherche une ou deux racines évidentes (au moins rationnelles, voire ptetre dans Q(i) si on est courageux (j'ai pas cherché))

[Le_chat]

Salut.Tu es sur de ton équation? Il semble qu'il n'y ait qu'une seule racine évidente, pour trouver les autres j'ai bien peur qu'il faille utiliser une méthode systématique type methode de cardan.

[Trident]

Avec 2 racine évidente, j'obtiens le nouveau polynôme :



A priori, je vois pas trop de racine évidente dans ce nouveau polynôme de degré 3 , je chercherai demain car j'ai sommeil, mais si vous avez des idées , je suis toujours preneur.

EDIT : @Le chat : oui, je suis sûr, j'ai pas fait d'erreurs de recopiage, c'est du niveau première année de licence donc je doute que la méthode de Cardan soit attendue.

[Le_chat]

Le polynôme X^3+2X^2+(4+3i)X+13 ne possède pas de racine réelle, imaginaire pure, voire dans Q(i) à en croire un logiciel de calcul. Tu vas vraiment avoir du mal à trouver les racines.

[Maxwell-]

Pour trouver une racine évidente il faut que ce nombre soit un diviseur de 13, donc il faut tester 1,-1,13,-13.

[Doraki]

effectivement si il y a une racine p/q dans Q(i), p doit diviser 13 = (2+3i)(2-3i) et q doit diviser 1,
donc il faut chercher parmi les 16 candidats {1,i,-1,-i} * {1, 2+3i} * {1, 2-3i} ; et il y en a pas.

Non en fait dans tous les cas les racines restantes ont des racines cubiques insimplifiables.