Calcul

[Mimi54]

Bonjour, je ne comprends pas un exercice.
Cet exercice est :
" On vous propose : << Donnez moi un entier n. Si je calcule juste ( 8^(n+1)+ 8^n)²/( 4^n- 4^(n-1) )3 en moins de 4s, vous me donnerez 4euros. >>
Y a-t-il escroquerie ? "

Pouvez-vous m'aider SVP ?

[stephaneenligne]

bonjour

la personne est simplement habile en simplification de puissances :
tout d'abord, transforme la puissance 3 du dénominateur en un produit d'une puissance 2 par une puissance 1; ensuite, utilise les propriétés des puissances A^n / B^n = (A/B)^n

[Mimi54]

Je commence comme ça :
(8^n)²/(4^n)^3 ?

[stephaneenligne]

non pas du tout, tu ne peux pas décortiquer de la sorte la fraction :

(2+5)/(3+7) n'est pas égal à 2/3 + 5/7

tout d'abord, peux-tu donner à l'expression une similitude d'écriture en passant au numérateur d'une puissance n-1 à une puissance n; d'une puissance n à une puissance n+1 en multipliant par 4; mais attention, pour conserver l'égalité, tu dois compenser au numérateur en multipliant par la puissance de 4 adéquate.
J'espère que tu me suis.

[Mimi54]

Numérateur :

(8^n+1 +8^n)² = 8^2n * 9²

en bas

( 4^n - 4^(n-1) ) ^3 = 4^3n * 3²

J'ai essayé avec des facteurs communs
Est-ce juste ?

[stephaneenligne]

à vue de nez, au dénominateur 3 est sans doute à la puissance 3, ensuite il me semble que puisque tu n'as pas modifié l'expression pour faire apparaître une similitude entre les puissances du haut et du bas, au lieu de 4^3n tu dois obtenir 4^(n-1). Vérifie.

[Mimi54]

(4^n - 4 ^ (n-1 ) )^3 = ( 4*4^(n-1) - 4^(n-1) )^3 = (4^(n-1) [ 4-1] )^3 = 4^(n-1)^3
C'est ça ?

[stephaneenligne]

attention, tu as sûrement commis une erreur de recopie, mais au cas où je te rappelle que (axb)^n = a^n x b^n donc, où le 3 provenant de (4-1) a disparu malencontreusement, il faut remédier à cela.

[Mimi54]

(4^(n-1)^3)9
?

[stephaneenligne]

bizarre que tu bloques là dessus puisque tu as très bien fait le numérateur :

3^3=27
donc 27x 4^(n-1) je te conseille néanmoins de passer à une puissance n soit
27 x 4^n / 4 diviser par 4 au dénominateur, revenant alors à multiplier par 4 au numérateur (diviser c'est multiplier par l'inverse)


le dénominateur est alors 27x4^n tandis que le numérateur est
8^2n x 81 x 4

ensuite, il ne te reste plus qu'à essayer de simplifier 8^2n avec 4^3n

[Mimi54]

bizarre que tu bloques là dessus puisque tu as très bien fait le numérateur :

3^3=27
donc 27x 4^(n-1) je te conseille néanmoins de passer à une puissance n soit
27 x 4^n / 4 diviser par 4 au dénominateur, revenant alors à multiplier par 4 au numérateur (diviser c'est multiplier par l'inverse)


le dénominateur est alors 27x4^n tandis que le numérateur est
8^2n x 81 x 4

ensuite, il ne te reste plus qu'à essayer de simplifier 8^2n avec 4^3n

8^2n*81*4 / 27*4^3n
= 2*4^3n *81*4/ 27*4^3n
= 2*81*4 / 27
648/27
= 24
Est ce bon ?
=

[stephaneenligne]

8^2n = (4x2)^2n = 4^2nx2^2n or 2^2n =(2^2)^n=4^n
donc 8^2n=4^2nx4^n=4^3n sauf erreur de ma part, je ne vois pas d'où vient le facteur 2 dans ton numérateur

[Mimi54]

4^2n*4^n*81*4 / 27*4^3n = 4^3n*81*4 / 27*4^3n = 81*4 / 27 = 12 ?

[stephaneenligne]

selon moi ce serait ça, mais j'ai déjà répondu à une trentaine de messages depuis midi, donc je peux avoir commis une erreur! bravo en tout cas

[Mimi54]

Merci beaucoup ! :D