Exercice factorisations très complexe, sos !

[ana62]

Bonsoir, je dois rendre un DM pour demain seulement un exercice me pose problème, j'ai essayé je n'y comprends rien, alors je demande de l'aide...

Soit n un entier naturel, on considère les nombres :
a = (n+1)(n+2) et p = n(n+1)(n+2)(n+3)

1) a) Calculer p - a (a-2)
b) Que peut-on en conclure ?

2) A l'aide de la question précédente et en factorisant montrer que p+1 est le carré d'un nombre.

Merci de votre aide !

[Lostounet]

Salut,

a = (n+1)(n+2) et p = n(n+1)(n+2)(n+3)

1) a) Calculer p - a (a-2)
b) Que peut-on en conclure ?

C'est pas dur...

T'as p = n(n+1)(n+2)(n+3)
et a = (n + 1)(n + 2)

p - a(a - 2) = p - a^2 + 2a (pour calculer un peu plus rapidement)

Maintenant, remplace p et a par ce que j'ai marqué en rouge. Essaye ensuite de factoriser l'expression obtenue. Réduis. Et tu remarques que...

[ana62]

Moi ça m'embrouille tous ces n additionnés avec des 1 et des 2 et des 3, avec des carrés...

Je trouve

p - a^2 + 2a
= n(n+1)(n+2)(n+3) - [(n + 1)(n + 2)]² + 2(n + 1)(n + 2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)²(n+2)² + 2(n²+2n+n+2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)²(n+2)² + 2(n²+3n+2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)²(n+2)² + 2n² +6n + 4

Et j'ai l'impression que c'est pas ça... :s

[Lostounet]

Bon déjà, j'aime bien les crochets que t'as mis à la première ligne, c'est bien.

Si les exposants te gènent, t'as qu'à mettre sous forme d'un produit. (n + 1)²(n + 2)²=(n + 1)(n + 1)(n + 2)(n + 2) (par exemple).

Alors à partir de la première ligne, tu remarques un facteur commun. Lequel?

[ana62]

p - a^2 + 2a
= n(n+1)(n+2)(n+3) - [(n + 1)(n + 2)]² + 2(n + 1)(n + 2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+1)(n+2)(n+2) + 2(n+1)(n+2)

Bah comme facteur commun je vois (n+1)(n+2)

p - a^2 + 2a
= n(n+1)(n+2)(n+3) - [(n + 1)(n + 2)]² + 2(n + 1)(n + 2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+1)(n+2)(n+2) + 2(n+1)(n+2)
= (n+1)(n+2) [n(n+3) - 2(n+1)(n+2)]

C'est un bon début ça ? Ou y a un truc qui va pas ?

[Lostounet]

C'est presque parfait mais t'as complètement laissé tomber le deuxième terme!

Si tu factorises (n + 1)(n + 2) de (n + 1)(n + 2)(n + 1)(n + 2), bah il reste (n + 1)(n + 2). Tu l'as pas mis à la fin.

(Et c'est bien + 2(n + 1)(n + 2) à la fin et non pas un -2(n + 1)(n + 2)).

Essaye de rectifier.

[ana62]

Ah oui effectivement ^^

p - a^2 + 2a
= n(n+1)(n+2)(n+3) - [(n + 1)(n + 2)]² + 2(n + 1)(n + 2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)
= (n+1)(n+2) [n(n+3) - (n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)]
= (n+1)(n+2) [n²+3n - n²+2n+n+3 + 2(n²+2n+n+2)]
= (n+1)(n+2) (n²+3n - n²+3n+3 + 2n²+6n+4)
= (n+1)(n+2) (3n + 3n + 2 + 2n² + 6n + 4)
= (n+1)(n+2) (2n² + 12n + 6)

C'est ça ou je me suis encore trompée ? :/

[Lostounet]

Ah oui effectivement ^^

p - a^2 + 2a
= n(n+1)(n+2)(n+3) - [(n + 1)(n + 2)]² + 2(n + 1)(n + 2)
= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)
= (n+1)(n+2) [n(n+3) - (n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)]
= (n+1)(n+2) [n²+3n - n²+2n+n+3 + 2(n²+2n+n+2)]
= (n+1)(n+2) (n²+3n - n²+3n+3 + 2n²+6n+4)
= (n+1)(n+2) (3n + 3n + 2 + 2n² + 6n + 4)
= (n+1)(n+2) (2n² + 12n + 6)

C'est ça ou je me suis encore trompée ? :/

L'expression est dix fois plus simple que ça!

Première Étape: On repère le facteur commun qui est (n + 1)(n + 2)

= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)

Maintenant, on le prend en facteur et on prend ce qui reste dans les termes.

= (n + 1)(n + 2) [n(n + 3) - [(n + 1)(n + 2)] + ...]

Alors en n'oubliant pas les parenthèses indispensables comme pour le (n + 1)(n + 2), tu verras que plein de choses vont se simplifier.
Essaye encore.

[ana62]

Ohlalala :(

= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)
= (n + 1)(n + 2) [n(n + 3) - [(n + 1)(n + 2)] + 2 ]
?
Je suis un cas désespéré xD.
Pourtant j'ai 16 de moyenne en maths. Et y a des trucs comme ça je bloque je sais pas pourquoi.

[Lostounet]

Ok parfait!! Maintenant, développe ce qu'il y a entre les deux parenthèses de droite.

[ana62]

= n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) + 2(n+1)(n+2)
= (n + 1)(n + 2) [n(n + 3) - [(n + 1)(n + 2)] + 2 ]
= (n+1)(n+2) [n² + 3n - (n² + 2n + n + 2) + 2]
= (n+1)(n+2) (n² + 3n - n² - 3n - 2 + 2)
= (n+1)(n+2) (0)
= (n+1)(n+2)

Bon ca y est cette fois ci je crois que c'est la bonne :D

[Lostounet]

= (n+1)(n+2) [n² + 3n - (n² + 2n + n + 2) + 2]

Exact.

= (n+1)(n+2) (n² + 3n - n² - 3n - 2 + 2)

Parfait.

= (n+1)(n+2) (0)

Bravo!

= (n+1)(n+2)

FAUX!!!!!

[ana62]

Ah, on est obligé de laisser le (0) ? Bah ça revient au même pourtant...

[Lostounet]

Ah bon? Quand tu multiplies un truc par 0, il change pas? :P

[ana62]

Ah siii ouais xD. J'avais pas tilté ^^.

Donc ça fait (n+1)(n+2)(0) = 0 ?

[Lostounet]

Oui, ça fait 0.
Et qu'en déduis-tu en ce qui concerne p - a (a-2) ?

Donc?

[Sa Majesté]

Perso j'aurais fait
a = (n+1)(n+2) = n²+3n+2 donc a-2 = n²+3n = n(n+3)
p - a (a-2) = n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)n(n+3) = 0
:lol3: :zen:

[Lostounet]

Ok, c'est very classy vu comme ça!! Je note. :D

[ana62]

Perso j'aurais fait
a = (n+1)(n+2) = n²+3n+2 donc a-2 = n²+3n = n(n+3)
p - a (a-2) = n(n+1)(n+2)(n+3) - (n+1)(n+2)n(n+3) = 0
:lol3: :zen:

Bravo

Et qu'en déduis-tu en ce qui concerne p - a (a-2) ?

Ben j'en déduis que p - a (a - 2) est nul